Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12712
2020-01-15 
К генератору звуковой частоты подключена цепь из двух резисторов и двух конденсаторов (см. рисунок). При какой частоте генератора сдвиг фаз между его напряжением и током через резистор сопротивлением $R$ окажется равным нулю? Во сколько раз при этом напряжение на этом резисторе будет меньше выходного напряжения генератора?
Решение:
Эту задачу можно решить при помощи обычного метода векторных диаграмм - решение получится довольно громоздкое, но никаких особенных сложностей не будет. Воспользуемся, однако, удобным случаем и расскажем немного о довольно полезном способе расчета цепей переменного тока при помощи комплексных чисел. Известно, что при перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Например, при умножении числа на мнимую единицу $i$ его модуль остается прежним, а к аргументу добавляется $\pi /2$. Эго свойство комплексных чисел оказывается очень удобным. Если, например, индуктивное сопротивление катушки принять равным $X_{L} = i \omega L$, то при расчете напряжения по закону Ома
$U_{L} = IX_{L} = I i \omega L$
нам удастся сразу учесть и сдвиг фаз на $\pi /2$ между напряжением и током. Для конденсатора емкостное сопротивление можно принять равным
$X_{C} = - \frac{i}{ \omega C}$,
а сопротивление резистора $R$ изменять не надо. При таком подходе можно пользовался всеми "хитростями", характерными для анализа цепей постоянного тока - замыкать точки с одинаковыми потенциалами, пользоваться эквивалентными заменами, применять метод узловых потенциалов и т.д.
Перейдем к нашей задаче. Обозначим ток через резистор $R$ буквой $I$, сопротивление конденсатора $C$ пока обозначим буквой $X_{C}$, чтобы не возиться с мнимыми единицами - значение $X_{C}$ подставим потом. Тогда напряжение на последовательно соединенных резисторе и конденсаторе будет равно
$U = I(R + X_{C})$.
Ток через второй конденсатор при этом составляет $U/X_{C}$, через резистор $r$ течет сумма токов этого конденсатора и цепочки $RC$, а сумма напряжения на резисторе и $U$ равна напряжению источника $U_{0}$:
$U_{0} = U + r \left (I + \frac{U}{X_{C}} \right ) = I (R + X_{C}) + rI + rI \frac{R + X_{C} }{X_{C} }$.
Отсюда можно получить соотношение между $I$ и $U_{0}$:
$I = \frac{U_{0}}{R + 2r + X_{C} + \frac{rR}{X_{C}}}$.
Если мнимая часть в знаменателе не равна нулю, то между током $I$ и напряжением $U_{0}$ будет сдвиг фаз. Значит, чтобы сдвига фаз не было, должно выполняться равенство
$X_{C} + \frac{rR}{X_{C}} = - \frac{i}{ \omega C} + rR \frac{ \omega C}{ - i} = - i \left ( \frac{1}{ \omega C} - rR \omega C \right ) = 0$,
отсюда получаем условие
$\omega^{2} = \frac{1}{rRC^{2}}$.
При этом напряжение на резисторе $R$ меньше выходного напряжения генератора в $\left (1 + \frac{2r}{R} \right )$ раз.
Обратите внимание на то, что просто складывать емкостные, индуктивные и обычные сопротивления без учета сдвигов фаз было бы неправильно - но наш подход позволяет учесть сдвиги фаз.
К генератору звуковой частоты подключена цепь из двух резисторов и двух конденсаторов (см. рисунок). При какой частоте генератора сдвиг фаз между его напряжением и током через резистор сопротивлением $R$ окажется равным нулю? Во сколько раз при этом напряжение на этом резисторе будет меньше выходного напряжения генератора?
Решение:
Эту задачу можно решить при помощи обычного метода векторных диаграмм - решение получится довольно громоздкое, но никаких особенных сложностей не будет. Воспользуемся, однако, удобным случаем и расскажем немного о довольно полезном способе расчета цепей переменного тока при помощи комплексных чисел. Известно, что при перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Например, при умножении числа на мнимую единицу $i$ его модуль остается прежним, а к аргументу добавляется $\pi /2$. Эго свойство комплексных чисел оказывается очень удобным. Если, например, индуктивное сопротивление катушки принять равным $X_{L} = i \omega L$, то при расчете напряжения по закону Ома
$U_{L} = IX_{L} = I i \omega L$
нам удастся сразу учесть и сдвиг фаз на $\pi /2$ между напряжением и током. Для конденсатора емкостное сопротивление можно принять равным
$X_{C} = - \frac{i}{ \omega C}$,
а сопротивление резистора $R$ изменять не надо. При таком подходе можно пользовался всеми "хитростями", характерными для анализа цепей постоянного тока - замыкать точки с одинаковыми потенциалами, пользоваться эквивалентными заменами, применять метод узловых потенциалов и т.д.
Перейдем к нашей задаче. Обозначим ток через резистор $R$ буквой $I$, сопротивление конденсатора $C$ пока обозначим буквой $X_{C}$, чтобы не возиться с мнимыми единицами - значение $X_{C}$ подставим потом. Тогда напряжение на последовательно соединенных резисторе и конденсаторе будет равно
$U = I(R + X_{C})$.
Ток через второй конденсатор при этом составляет $U/X_{C}$, через резистор $r$ течет сумма токов этого конденсатора и цепочки $RC$, а сумма напряжения на резисторе и $U$ равна напряжению источника $U_{0}$:
$U_{0} = U + r \left (I + \frac{U}{X_{C}} \right ) = I (R + X_{C}) + rI + rI \frac{R + X_{C} }{X_{C} }$.
Отсюда можно получить соотношение между $I$ и $U_{0}$:
$I = \frac{U_{0}}{R + 2r + X_{C} + \frac{rR}{X_{C}}}$.
Если мнимая часть в знаменателе не равна нулю, то между током $I$ и напряжением $U_{0}$ будет сдвиг фаз. Значит, чтобы сдвига фаз не было, должно выполняться равенство
$X_{C} + \frac{rR}{X_{C}} = - \frac{i}{ \omega C} + rR \frac{ \omega C}{ - i} = - i \left ( \frac{1}{ \omega C} - rR \omega C \right ) = 0$,
отсюда получаем условие
$\omega^{2} = \frac{1}{rRC^{2}}$.
При этом напряжение на резисторе $R$ меньше выходного напряжения генератора в $\left (1 + \frac{2r}{R} \right )$ раз.
Обратите внимание на то, что просто складывать емкостные, индуктивные и обычные сопротивления без учета сдвигов фаз было бы неправильно - но наш подход позволяет учесть сдвиги фаз.
