Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12711
2020-01-15 
Два кольца из тонкого провода расположены на одной оси на расстоянии $H$ друг от друга (рис.). Радиусы колец $r$ и $R$, причем $r \ll R$. По кольцам протекают токи $I_{1}$ и $I_{2}$. С какой силой одно из колец действует на другое? Для решения задачи вам понадобится выражение для магнитной индукции на оси кольца с током:
$B = \frac{ \mu_{0}IR^{2} }{2 (R^{2} + H^{2} )^{3/2} }$.
где $\mu_{0} = 4 \pi 10^{-7} Гн/м$ - магнитная постоянная.
Решение:
Это довольно трудная задача - ее решение требует сложных вычислений. Вначале обсудим общий путь решения. Расчет сил взаимодействия удобно провести, вычисляя магнитное поле от большого кольца (так как по условию $r \ll R$, то придется вычислять иоле почти на оси - это сделать проще) и находя силу, которая действует на ток, текущий по малому кольцу. Трудность состоит в том, что нас интересует только та составляющая вектора магнитной индукции, которая перпендикулярна оси (составляющая вдоль оси только деформирует кольцо). Эту составляющую мы будем рассчитывать приближенно, считая се малой (в случае малого кольца это вполне разумное предположение).
Рассмотрим магнитный поток через маленький цилиндр диаметром, равным диаметру малого кольца, и высотой $h \ll H$ (рис.). Поток вектора магнитной индукции, выходящий через боковую поверхность цилиндра, найдем как разность магнитных потоков через его торцы. А зная магнитный поток через боковую поверхность цилиндра, мы определим и нужную нам перпендикулярную составляющую поля, разделив этот поток на площадь боковой поверхности цилиндра.
Итак,
$\Phi = 2 \pi rhB_{2} = \Phi_{1} - \Phi_{2} = \pi r^{2}(B_{1} - B_{2}) = \pi r^{2} \Delta B = \pi r^{2} \frac{dB}{dH} h$,
откуда
$B_{ \perp} = \frac{r}{2} \left ( \frac{dB}{dH} \right ) = \frac{r}{2} \frac{ \mu_{0}I_{1}R^{2} }{2} \frac{- \frac{3}{2} 2H }{ (R^{2} + H^{2} )^{5/2} } = - \frac{3 \mu_{0} I_{1} R^{2} rH }{4 (R^{2} + H^{2})^{5/2} }$.
Теперь можно найти и силу взаимодействия:
$F =2 \pi rl_{2} | B_{ \perp} | = \frac{3 \pi \mu_{0} I_{1}I_{2} r^{2}R^{2}H }{2 (R^{2} + H^{2} )^{5/2} }$.
Два кольца из тонкого провода расположены на одной оси на расстоянии $H$ друг от друга (рис.). Радиусы колец $r$ и $R$, причем $r \ll R$. По кольцам протекают токи $I_{1}$ и $I_{2}$. С какой силой одно из колец действует на другое? Для решения задачи вам понадобится выражение для магнитной индукции на оси кольца с током:
$B = \frac{ \mu_{0}IR^{2} }{2 (R^{2} + H^{2} )^{3/2} }$.
где $\mu_{0} = 4 \pi 10^{-7} Гн/м$ - магнитная постоянная.
Решение:
Это довольно трудная задача - ее решение требует сложных вычислений. Вначале обсудим общий путь решения. Расчет сил взаимодействия удобно провести, вычисляя магнитное поле от большого кольца (так как по условию $r \ll R$, то придется вычислять иоле почти на оси - это сделать проще) и находя силу, которая действует на ток, текущий по малому кольцу. Трудность состоит в том, что нас интересует только та составляющая вектора магнитной индукции, которая перпендикулярна оси (составляющая вдоль оси только деформирует кольцо). Эту составляющую мы будем рассчитывать приближенно, считая се малой (в случае малого кольца это вполне разумное предположение).
Рассмотрим магнитный поток через маленький цилиндр диаметром, равным диаметру малого кольца, и высотой $h \ll H$ (рис.). Поток вектора магнитной индукции, выходящий через боковую поверхность цилиндра, найдем как разность магнитных потоков через его торцы. А зная магнитный поток через боковую поверхность цилиндра, мы определим и нужную нам перпендикулярную составляющую поля, разделив этот поток на площадь боковой поверхности цилиндра.
Итак,
$\Phi = 2 \pi rhB_{2} = \Phi_{1} - \Phi_{2} = \pi r^{2}(B_{1} - B_{2}) = \pi r^{2} \Delta B = \pi r^{2} \frac{dB}{dH} h$,
откуда
$B_{ \perp} = \frac{r}{2} \left ( \frac{dB}{dH} \right ) = \frac{r}{2} \frac{ \mu_{0}I_{1}R^{2} }{2} \frac{- \frac{3}{2} 2H }{ (R^{2} + H^{2} )^{5/2} } = - \frac{3 \mu_{0} I_{1} R^{2} rH }{4 (R^{2} + H^{2})^{5/2} }$.
Теперь можно найти и силу взаимодействия:
$F =2 \pi rl_{2} | B_{ \perp} | = \frac{3 \pi \mu_{0} I_{1}I_{2} r^{2}R^{2}H }{2 (R^{2} + H^{2} )^{5/2} }$.
