Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12710
2020-01-15 
Возьмем короткую трубочку небольшого диаметра $D$ и выдуем мыльный пузырь радиусом $R_{0} \gg D$. Откроем теперь конец трубочки и подождем, пока пузырь сдуется. Оцените время жизни такого пузыря от начала сдувания, если $D = 2 мм, R_{0} = 2 см$. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,07 Н/м$.
Решение:
Сначала - качественные соображения. Очевидно, что искомое время $T$ тем больше, чем больше радиус $R_{0}$ пузыря и плотность $\rho$ газа в нем (если, например, автомат надует пузырь водородом, то он сдуется быстрее воздушного). С другой стороны, это время тем меньше, чем больше коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки $\sigma$ (могут быть разные сорта мыла) и чем меньше радиус $r$ трубки.
Теперь попробуем сделать количественные оценки. По закону сохранения энергии, в процессе уменьшения пузыря его потенциальная поверхностная энергия переходит в кинетическую энергию выходящего воздуха (кинетической энергией самого пузыря пренебрегаем, правомерность чего подтвердят следующие ниже расчеты). Итак, можно записать
$d(2 \sigma S) = - \frac{dmv^{2} }{2}$,
где $dm = \rho_{в} dV$ - масса воздуха, вышедшая из пузыря за малое время $dt, \rho_{в}$ - плотность воздуха, $dV$ - уменьшение объема пузыря. Наличие в формуле множителя "два" объясняется тем, что пузырь имеет две поверхности, а поверхностная энергия каждой поверхности равна $\sigma S$ (естественно, мы пренебрегаем толщиной мыльной пленки и считаем радиусы этих поверхностей равными). Поскольку, с одной стороны, $dV = 4 \pi R^{2} dR$, а с другой, $dV = \pi r^{2} vdt$, получаем
$\frac{dR}{dt} = - \sqrt{ \frac{ \sigma}{2 \rho_{в} } } \frac{r^{2} }{R^{3/2} }$. (*)
А теперь сравним кинетическую энергию пузыря
$E_{к} = \frac{M \left ( \frac{dR}{dt} \right )^{2} }{2}$
с его поверхностной энергией $E_{п} = 2 \sigma S = 8 \pi \sigma R^{2}$, например, в момент времени, когда радиус пузыря уменьшился вдвое. Так как масса оболочки пузыря равна $M = \rho_{воды} 4 \pi R^{2}h$, где $\rho_{воды}$ - плотность воды и $h$ - толщина мыльной пленки, то
$\frac{E_{к} }{E_{п} } = \frac{ \rho_{воды} }{8 \rho_{в} } \frac{r^{4}h }{R^{5} }$.
При $r = 1 мм, R = \frac{R_{0}}{2} = 10 мм, h = 0,01 мм, \rho_{воды} = 10^{3} кг/м^{3}$ и $\rho_{в} = 1,29 кг/м^{3}$ получим, что
$\frac{E_{к} }{E_{п} } = 10^{-5} \ll 1$,
т.е. наше предположение подтвердилось. Вернемся к вопросу задачи. Разделим в формуле (*) переменные $R$ и $t$ и проинтегрируем, учитывая, что $0 \leq R \leq R_{0}$:
$dt = - \sqrt{ \frac{2 \rho_{в} }{ \sigma} } \frac{1}{r^{2} R^{5/2}} dR$,
$T = \frac{2}{7} \sqrt{ \frac{2 \rho_{в} }{ \sigma} } \frac{R_{0}^{7/2} }{r^{2} } = 4 с$.
Полученный результат подтверждает первоначальные качественные соображения и неплохо согласуется с опытом.
Возьмем короткую трубочку небольшого диаметра $D$ и выдуем мыльный пузырь радиусом $R_{0} \gg D$. Откроем теперь конец трубочки и подождем, пока пузырь сдуется. Оцените время жизни такого пузыря от начала сдувания, если $D = 2 мм, R_{0} = 2 см$. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,07 Н/м$.
Решение:
Сначала - качественные соображения. Очевидно, что искомое время $T$ тем больше, чем больше радиус $R_{0}$ пузыря и плотность $\rho$ газа в нем (если, например, автомат надует пузырь водородом, то он сдуется быстрее воздушного). С другой стороны, это время тем меньше, чем больше коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки $\sigma$ (могут быть разные сорта мыла) и чем меньше радиус $r$ трубки.
Теперь попробуем сделать количественные оценки. По закону сохранения энергии, в процессе уменьшения пузыря его потенциальная поверхностная энергия переходит в кинетическую энергию выходящего воздуха (кинетической энергией самого пузыря пренебрегаем, правомерность чего подтвердят следующие ниже расчеты). Итак, можно записать
$d(2 \sigma S) = - \frac{dmv^{2} }{2}$,
где $dm = \rho_{в} dV$ - масса воздуха, вышедшая из пузыря за малое время $dt, \rho_{в}$ - плотность воздуха, $dV$ - уменьшение объема пузыря. Наличие в формуле множителя "два" объясняется тем, что пузырь имеет две поверхности, а поверхностная энергия каждой поверхности равна $\sigma S$ (естественно, мы пренебрегаем толщиной мыльной пленки и считаем радиусы этих поверхностей равными). Поскольку, с одной стороны, $dV = 4 \pi R^{2} dR$, а с другой, $dV = \pi r^{2} vdt$, получаем
$\frac{dR}{dt} = - \sqrt{ \frac{ \sigma}{2 \rho_{в} } } \frac{r^{2} }{R^{3/2} }$. (*)
А теперь сравним кинетическую энергию пузыря
$E_{к} = \frac{M \left ( \frac{dR}{dt} \right )^{2} }{2}$
с его поверхностной энергией $E_{п} = 2 \sigma S = 8 \pi \sigma R^{2}$, например, в момент времени, когда радиус пузыря уменьшился вдвое. Так как масса оболочки пузыря равна $M = \rho_{воды} 4 \pi R^{2}h$, где $\rho_{воды}$ - плотность воды и $h$ - толщина мыльной пленки, то
$\frac{E_{к} }{E_{п} } = \frac{ \rho_{воды} }{8 \rho_{в} } \frac{r^{4}h }{R^{5} }$.
При $r = 1 мм, R = \frac{R_{0}}{2} = 10 мм, h = 0,01 мм, \rho_{воды} = 10^{3} кг/м^{3}$ и $\rho_{в} = 1,29 кг/м^{3}$ получим, что
$\frac{E_{к} }{E_{п} } = 10^{-5} \ll 1$,
т.е. наше предположение подтвердилось. Вернемся к вопросу задачи. Разделим в формуле (*) переменные $R$ и $t$ и проинтегрируем, учитывая, что $0 \leq R \leq R_{0}$:
$dt = - \sqrt{ \frac{2 \rho_{в} }{ \sigma} } \frac{1}{r^{2} R^{5/2}} dR$,
$T = \frac{2}{7} \sqrt{ \frac{2 \rho_{в} }{ \sigma} } \frac{R_{0}^{7/2} }{r^{2} } = 4 с$.
Полученный результат подтверждает первоначальные качественные соображения и неплохо согласуется с опытом.
