Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1271
2016-10-21 
Школьницы Алиса и Василиса решили изготовить самодельные вольтметры из имеющихся в школьной лаборатории миллиамперметров. Алиса соединила миллиамперметр последовательно с резистором сопротивление $R_{1} = 1 кОм$ и приклеила на прибор шкалу напряжений, показывающую произведение текущего через миллиамперметр тока $i$ на $R_{1}$. Василиса собрала ту же схему, используя другой резистор с сопротивлением $R_{2} = 2 кОм$, и приклеила шкалу, показывающую произведение $IR_{2}$. Школьницы решили испытать свои приборы, подключив их к схеме, изображённой на рисунке, с неизвестным напряжением батарейки и неизвестными сопротивлениями резисторов. Прибор Алисы при подключении к контактам 1 и 2 показал напряжение $U_{12} = 1,8 В$, к контактам 2 и 3 — напряжение $U_{23} = 1,8 В$, к контактам 1 и 3 — напряжение $U_{13} = 4,5 В$. Что покажет прибор Василисы при подключении к тем же парам контактов? Внутренним сопротивлением батарейки и миллиамперметров пренебречь.
Решение:
При подключении как прибора Алисы, так и прибора Василисы к контактам 1 и 3 схемы ток, текущий через прибор, будет равен $I = U/R$, где $R$ — сопротивление
данного прибора. Поэтому вне зависимости от величины $R$ стрелка на шкале самодельного вольтметра будет показывать величину $IR = U$, то есть напряжение батарейки. Следовательно, приборы Алисы и Василисы при подключении к клеммам 1 и 3 покажут одинаковые значения напряжения $V_{13} = U_{13} = 4,5 В$.
Выясним теперь, как зависят показания $U_{12}$ и $U_{23}$ самодельных приборов от величин сопротивлений $R_{1}$ (для прибора Алисы) или $R_{2}$ (для прибора Василисы). Пусть прибор подключён к контактам 1 и 2 испытательной схемы (см. рис.).
Обозначим через $R_{x}$ и $R_{y}$ сопротивления резисторов, включённых между контактами 1-2 и 2-3. Тогда в случае подключения прибора Алисы ток, текущий через резистор $R_{1}$, будет равен $I_{1} = = U_{12}/R_{1}$, а ток, текущий через резистор $R_{x}$, будет равен $I_{x} = U_{12}/R_{x}$. Поэтому ток, текущий через резистор $R_{y}$, равен
$I_{y} = I_{1} + I_{x} = U_{12} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )$,
а напряжение батарейки равно:
$U_{13} = U_{12} + I_{y}R_{y} = U_{12}R_{y} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )$.
Отсюда
$U_{12} = \frac{U_{13}}{ R_{y} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )}$.
Рассуждая аналогично, можно получить выражение для напряжения С/23 в случае подключения приборов к контактам 2 и 3:
$U_{23} = \frac{U_{13}}{ R_{x} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )}$.
По условию задачи $U_{12} = U_{23}$. Следовательно, $R_{x} = R_{y}$. С учётом этого получаем:
$U_{12} = \frac{U_{13}}{2 + \frac{R_{x}}{R_{1}}}$,
откуда
$R_{x} = R_{y} = \left ( \frac{U_{13}}{U_{12}} - 2 \right ) R_{1} = 0,5 кОм$.
Теперь для того, чтобы найти показания прибора Василисы $V_{12}$ и $V_{23}$ при подключении к клеммам 1-2 и 2-3, нужно в выражениях для $U_{12}$ и $U_{23}$ заменить $R_{1}$ на $R_{2}$. С учётом равенства величин $R_{x}$ и $R_{y}$ получаем:
$V_{12} = V_{23} = \frac{U_{13}}{2 + \frac{R_{x}}{R_{2}}} = \frac{4,5 В}{2 + \frac{0,5}{2}} 2 В$.
Школьницы Алиса и Василиса решили изготовить самодельные вольтметры из имеющихся в школьной лаборатории миллиамперметров. Алиса соединила миллиамперметр последовательно с резистором сопротивление $R_{1} = 1 кОм$ и приклеила на прибор шкалу напряжений, показывающую произведение текущего через миллиамперметр тока $i$ на $R_{1}$. Василиса собрала ту же схему, используя другой резистор с сопротивлением $R_{2} = 2 кОм$, и приклеила шкалу, показывающую произведение $IR_{2}$. Школьницы решили испытать свои приборы, подключив их к схеме, изображённой на рисунке, с неизвестным напряжением батарейки и неизвестными сопротивлениями резисторов. Прибор Алисы при подключении к контактам 1 и 2 показал напряжение $U_{12} = 1,8 В$, к контактам 2 и 3 — напряжение $U_{23} = 1,8 В$, к контактам 1 и 3 — напряжение $U_{13} = 4,5 В$. Что покажет прибор Василисы при подключении к тем же парам контактов? Внутренним сопротивлением батарейки и миллиамперметров пренебречь.
Решение:
При подключении как прибора Алисы, так и прибора Василисы к контактам 1 и 3 схемы ток, текущий через прибор, будет равен $I = U/R$, где $R$ — сопротивление
данного прибора. Поэтому вне зависимости от величины $R$ стрелка на шкале самодельного вольтметра будет показывать величину $IR = U$, то есть напряжение батарейки. Следовательно, приборы Алисы и Василисы при подключении к клеммам 1 и 3 покажут одинаковые значения напряжения $V_{13} = U_{13} = 4,5 В$.
Выясним теперь, как зависят показания $U_{12}$ и $U_{23}$ самодельных приборов от величин сопротивлений $R_{1}$ (для прибора Алисы) или $R_{2}$ (для прибора Василисы). Пусть прибор подключён к контактам 1 и 2 испытательной схемы (см. рис.).
Обозначим через $R_{x}$ и $R_{y}$ сопротивления резисторов, включённых между контактами 1-2 и 2-3. Тогда в случае подключения прибора Алисы ток, текущий через резистор $R_{1}$, будет равен $I_{1} = = U_{12}/R_{1}$, а ток, текущий через резистор $R_{x}$, будет равен $I_{x} = U_{12}/R_{x}$. Поэтому ток, текущий через резистор $R_{y}$, равен
$I_{y} = I_{1} + I_{x} = U_{12} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )$,
а напряжение батарейки равно:
$U_{13} = U_{12} + I_{y}R_{y} = U_{12}R_{y} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )$.
Отсюда
$U_{12} = \frac{U_{13}}{ R_{y} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )}$.
Рассуждая аналогично, можно получить выражение для напряжения С/23 в случае подключения приборов к контактам 2 и 3:
$U_{23} = \frac{U_{13}}{ R_{x} \left ( \frac{1}{R_{y}} + \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{x}} \right )}$.
По условию задачи $U_{12} = U_{23}$. Следовательно, $R_{x} = R_{y}$. С учётом этого получаем:
$U_{12} = \frac{U_{13}}{2 + \frac{R_{x}}{R_{1}}}$,
откуда
$R_{x} = R_{y} = \left ( \frac{U_{13}}{U_{12}} - 2 \right ) R_{1} = 0,5 кОм$.
Теперь для того, чтобы найти показания прибора Василисы $V_{12}$ и $V_{23}$ при подключении к клеммам 1-2 и 2-3, нужно в выражениях для $U_{12}$ и $U_{23}$ заменить $R_{1}$ на $R_{2}$. С учётом равенства величин $R_{x}$ и $R_{y}$ получаем:
$V_{12} = V_{23} = \frac{U_{13}}{2 + \frac{R_{x}}{R_{2}}} = \frac{4,5 В}{2 + \frac{0,5}{2}} 2 В$.
