Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12707
2020-01-15 
Для исследования резонанса собрана схема, показанная на рисунке. При какой частоте генератора вольтметр дает максимальные показания? Чему равно это максимальное напряжение, если амплитуда напряжения генератора $U_{0} = 1 В$? Как изменятся максимальные показания вольтметра при уменьшении сопротивления $r$ от 1 кОм до 100 Ом? Все элементы схемы можно считать идеальными.
Решение:
Для существенного упрощения вычислений удобно генератор переменного напряжения и два подключенных к нему резистора заменить так называемым эквивалентным источником с амплитудой выходного напряжения $U_{m} = \frac{U_{0}r}{R + r}$ и внутренним сопротивлением $Z = \frac{Rr}{R + r}$. (Эквивалентность такой замены попробуйте доказать самостоятельно.)
Теперь схема получилась совсем простой, и амплитуду напряжения на конденсаторе можно легко записать:
$U_{C} = \frac{U_{m}Z_{C} }{Z_{общ}} = \frac{U_{m} }{ \omega C \sqrt{ Z^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } }$.
Исследуем полученную функцию частоты $\omega$ на максимум. Для этого рассмотрим знаменатель, а лучше - квадрат знаменателя, и выясним, при каком значении $\omega$ он минимален. Приравняем нулю его производную по частоте:
$2 \omega C^{2}Z^{2} + 4 \omega^{3} L^{2}C^{2} - 4 \omega LC = 0$,
откуда найдем
$\omega^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{Z^{2}}{2L^{2}} = \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{Z^{2}C}{2L} \right )$.
Видно, что при $R = 2 кОм$ и $r = 1 кОм$ $Z = 667 кОм$ и под корнем стоит отрицательная величина. Это значит, что функция не имеет максимумов и минимумов при
$\omega > 0$ и максимальное напряжение вольтметра получается либо на очень высокой, либо на совсем низкой частоте, В нашем первом случае ясно, что максимум будет на нулевой частоте и вольтметр будет показывать 0,33 В (если он сможет нормально функционировать при измерениях на очень низких частотах). Во втором случае показания будут максимальными на частоте $\omega = 0,95 \omega_{0}$, где $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$, и составят примерно $0,15 В$.
Для исследования резонанса собрана схема, показанная на рисунке. При какой частоте генератора вольтметр дает максимальные показания? Чему равно это максимальное напряжение, если амплитуда напряжения генератора $U_{0} = 1 В$? Как изменятся максимальные показания вольтметра при уменьшении сопротивления $r$ от 1 кОм до 100 Ом? Все элементы схемы можно считать идеальными.
Решение:
Для существенного упрощения вычислений удобно генератор переменного напряжения и два подключенных к нему резистора заменить так называемым эквивалентным источником с амплитудой выходного напряжения $U_{m} = \frac{U_{0}r}{R + r}$ и внутренним сопротивлением $Z = \frac{Rr}{R + r}$. (Эквивалентность такой замены попробуйте доказать самостоятельно.)
Теперь схема получилась совсем простой, и амплитуду напряжения на конденсаторе можно легко записать:
$U_{C} = \frac{U_{m}Z_{C} }{Z_{общ}} = \frac{U_{m} }{ \omega C \sqrt{ Z^{2} + \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} } }$.
Исследуем полученную функцию частоты $\omega$ на максимум. Для этого рассмотрим знаменатель, а лучше - квадрат знаменателя, и выясним, при каком значении $\omega$ он минимален. Приравняем нулю его производную по частоте:
$2 \omega C^{2}Z^{2} + 4 \omega^{3} L^{2}C^{2} - 4 \omega LC = 0$,
откуда найдем
$\omega^{2} = \frac{1}{LC} - \frac{Z^{2}}{2L^{2}} = \omega_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{Z^{2}C}{2L} \right )$.
Видно, что при $R = 2 кОм$ и $r = 1 кОм$ $Z = 667 кОм$ и под корнем стоит отрицательная величина. Это значит, что функция не имеет максимумов и минимумов при
$\omega > 0$ и максимальное напряжение вольтметра получается либо на очень высокой, либо на совсем низкой частоте, В нашем первом случае ясно, что максимум будет на нулевой частоте и вольтметр будет показывать 0,33 В (если он сможет нормально функционировать при измерениях на очень низких частотах). Во втором случае показания будут максимальными на частоте $\omega = 0,95 \omega_{0}$, где $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$, и составят примерно $0,15 В$.
