Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12704
2020-01-15 
Два сосуда объемом $V = 0,5 л$ каждый соединены вертикальной стеклянной трубкой сечением $S = 1 см^{2}$ (рас.). Трубка перекрыта подвижным поршнем - магнитом массой $m = 2,0 г$, который может двигаться вдоль трубки без трения. При помощи катушек, подключенных к генератору переменною напряжения, возбуждают колебания поршня вдоль трубки. На рисунке приведена экспериментально полученная зависимость амплитуды установившихся колебаний поршня от частоты приложенного переменного напряжения. Определите по этим данным отношение молярных теплоемкостей $C_{p}/C_{V}$ для воздуха. В первом опыте вентиль наверху был закрыт. При какой частоте наступит максимум при открытом вентиле? Оцените амплитуду колебаний поршня в этом случае на частоте $f_{0}$. Давление воздуха $p_{0} = 1 атм.
Решение:
Для решения этой задачи нужно воспользоваться уравнением адиабаты, связывающим давление и объем газа соотношением
$pV^{ \gamma} = const$,
где $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$ - отношение молярных теплоемкостей газа при изобарном и изохорном процессах соответственно. Отсюда для малых изменений давления и объема получаем
$\Delta p = - \gamma p \frac{ \Delta V}{V}$.
При малом смещении поршня давление в одном сосуде увеличивается, а в другом уменьшается. Начальные объемы сосудов одинаковы, давления в них практически тоже были одинаковыми (чтобы уравновесить поршень, нужна совсем небольшая - по сравнению с начальным давлением - добавка). Тогда полную силу, действующую на поршень при его малом смещении $x$, можно записать в виде
$F = 2 \Delta pS = - \frac{2 \gamma p_{0}SxS}{V} = - \frac{2 \gamma p_{0}S^{2} x}{V}$.
Эта "возвращающая" сила пропорциональна смещению поршня от положения равновесия - значит, поршень будет колебаться по гармоническому закону (глядя на довольно острую резонансную кривую, можно предположить, что затухание колебаний получается небольшим и его влиянием на частоту резонанса можно пренебречь). Тогда для резонансной частоты колебаний получаем
$\omega_{0}^{2} = (2 \pi f_{0})^{2} = \frac{2 \gamma p_{0} S^{2}}{mV}$,
откуда
$\gamma = \frac{2mV \pi^{2} f_{0}^{2} }{p_{0}S^{2} } = 1,4$.
Это вполне соответствует теоретическому значению для двухатомного газа $\gamma = \frac{7}{5} = 1,4$.
Если открыть вентиль в одном из сосудов, давление в нем меняться не будет и величина возвращающей силы уменьшится в 2 раза. При этом чистота резонанса уменьшится в $\sqrt{2}$ раз и составит $f = 6 Гц$.
Амплитуду колебаний на частоте $f_{0} = 8,5 Гц$ в новых условиях можно оценить по тому же графику (см. рис.), если сместиться от резонанса на
$\Delta f = \frac{ (f_{0} - f)f_{0}}{f} \approx 3,5 Гц$.
Амплитуда - судя по графику - будет совсем малой.
Два сосуда объемом $V = 0,5 л$ каждый соединены вертикальной стеклянной трубкой сечением $S = 1 см^{2}$ (рас.). Трубка перекрыта подвижным поршнем - магнитом массой $m = 2,0 г$, который может двигаться вдоль трубки без трения. При помощи катушек, подключенных к генератору переменною напряжения, возбуждают колебания поршня вдоль трубки. На рисунке приведена экспериментально полученная зависимость амплитуды установившихся колебаний поршня от частоты приложенного переменного напряжения. Определите по этим данным отношение молярных теплоемкостей $C_{p}/C_{V}$ для воздуха. В первом опыте вентиль наверху был закрыт. При какой частоте наступит максимум при открытом вентиле? Оцените амплитуду колебаний поршня в этом случае на частоте $f_{0}$. Давление воздуха $p_{0} = 1 атм.
Решение:
Для решения этой задачи нужно воспользоваться уравнением адиабаты, связывающим давление и объем газа соотношением
$pV^{ \gamma} = const$,
где $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$ - отношение молярных теплоемкостей газа при изобарном и изохорном процессах соответственно. Отсюда для малых изменений давления и объема получаем
$\Delta p = - \gamma p \frac{ \Delta V}{V}$.
При малом смещении поршня давление в одном сосуде увеличивается, а в другом уменьшается. Начальные объемы сосудов одинаковы, давления в них практически тоже были одинаковыми (чтобы уравновесить поршень, нужна совсем небольшая - по сравнению с начальным давлением - добавка). Тогда полную силу, действующую на поршень при его малом смещении $x$, можно записать в виде
$F = 2 \Delta pS = - \frac{2 \gamma p_{0}SxS}{V} = - \frac{2 \gamma p_{0}S^{2} x}{V}$.
Эта "возвращающая" сила пропорциональна смещению поршня от положения равновесия - значит, поршень будет колебаться по гармоническому закону (глядя на довольно острую резонансную кривую, можно предположить, что затухание колебаний получается небольшим и его влиянием на частоту резонанса можно пренебречь). Тогда для резонансной частоты колебаний получаем
$\omega_{0}^{2} = (2 \pi f_{0})^{2} = \frac{2 \gamma p_{0} S^{2}}{mV}$,
откуда
$\gamma = \frac{2mV \pi^{2} f_{0}^{2} }{p_{0}S^{2} } = 1,4$.
Это вполне соответствует теоретическому значению для двухатомного газа $\gamma = \frac{7}{5} = 1,4$.
Если открыть вентиль в одном из сосудов, давление в нем меняться не будет и величина возвращающей силы уменьшится в 2 раза. При этом чистота резонанса уменьшится в $\sqrt{2}$ раз и составит $f = 6 Гц$.
Амплитуду колебаний на частоте $f_{0} = 8,5 Гц$ в новых условиях можно оценить по тому же графику (см. рис.), если сместиться от резонанса на
$\Delta f = \frac{ (f_{0} - f)f_{0}}{f} \approx 3,5 Гц$.
Амплитуда - судя по графику - будет совсем малой.
