Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12703
2020-01-15 
Однородная длинная пружина состоит из большого числа одинаковых витков и имеет в недеформированном состоянии длину $L$. Пружину поставили вертикально внутрь высокого цилиндра с гладкими стенками, при этом длина пружины уменьшилась в два раза. Затем в цилиндр налили воду до уровня, равного $L/2$. Какой стала длина пружины в этом случае? Плотность материала пружины $\rho$, плотность воды $\rho_{0}$.
Решение:
Пусть пружина состоит из $N$ витков (по условию $N \gg 1$). Рассмотрим вначале сжатие пружины под действием собственного веса в отсутствие воды. На виток номер $j$ (считая сверху) давят верхние $j - 1$ витков. Изменение его длины определяется силой $Mg \frac{j - 1}{N}$, где $M$ - масса пружины, и жесткостью этого витка - она в $N$ раз больше жесткости $k$ всей пружины. Суммарное "укорочение" пружины равно сумме изменений длин ее витков:
$\Delta L = \sum_{j = 1}^{N} \Delta L_{j} = \frac{Mg}{2k} = \frac{L}{2}$,
откуда получаем
$\frac{Mg}{k} = L$.
Теперь рассмотрим случай, когда вода доходит до уровня $\frac{L}{2}$. Если при этом под водой оказались $n$ витков, то $N - n$ витков будут торчать из воды. Будем искать величину $\frac{n}{N}$. Мы можем записать нагрузку для каждого из подводных витков, найти изменение его длины, просуммировать эти изменения и приравнять сумму к величине $\frac{Ln}{N} - \frac{L}{2}$ (это разность между длиной $n$ витков в недеформированном состоянии и в конечном результате). Еще нужно учесть, что витки, которые погружены в воду, за счет действия на них силы Архимеда весят меньше - такой виток давит на нижние силой
$Mg \frac{ \rho - \rho_{0}}{ \rho N} = \alpha \frac{Mg}{N}$.
Итак, сила, сжимающая виток номер $i + 1$ (считая вниз от границы воды), равна
$F_{i} = Mg \frac{N - n}{N} + \alpha \frac{Mgi}{N}$,
а сумма изменений длин подводных витков -
$\sum_{i = 0}^{n} \frac{F_{i} }{kN} = Mgn \frac{N - n}{kN^{2} } + \frac{ \alpha Mgn^{2} }{2kN^{2} } = L \left ( \frac{n}{N} - \frac{1}{2} \right )$.
Вводя обозначение $\frac{n}{N} = x$ и используя соотношение $\frac{Mg}{k} = L$, получим относительно $x$ уравнение
$x (1 - x) + \frac{ \alpha x^{2} }{2} = x - \frac{1}{2}$,
откуда
$x = \frac{1}{ \sqrt{2 - \alpha}}$.
Теперь уже легко получить длину всей пружины, прибавив к длине $\frac{L}{2}$ подводной ее части длину деформированных $N - n$ витков надводной части:
$L^{*} = \frac{L}{2} + L(1-x) - \frac{L(1-x)^{2}}{2} = L \left ( 1 - \frac{x^{2}}{2} \right )$.
или
$L^{*} = L \frac{3- 2 \alpha}{2(2 - \alpha)}$, где $\alpha = \frac{ \rho - \rho_{0}}{ \rho}$.
Однородная длинная пружина состоит из большого числа одинаковых витков и имеет в недеформированном состоянии длину $L$. Пружину поставили вертикально внутрь высокого цилиндра с гладкими стенками, при этом длина пружины уменьшилась в два раза. Затем в цилиндр налили воду до уровня, равного $L/2$. Какой стала длина пружины в этом случае? Плотность материала пружины $\rho$, плотность воды $\rho_{0}$.
Решение:
Пусть пружина состоит из $N$ витков (по условию $N \gg 1$). Рассмотрим вначале сжатие пружины под действием собственного веса в отсутствие воды. На виток номер $j$ (считая сверху) давят верхние $j - 1$ витков. Изменение его длины определяется силой $Mg \frac{j - 1}{N}$, где $M$ - масса пружины, и жесткостью этого витка - она в $N$ раз больше жесткости $k$ всей пружины. Суммарное "укорочение" пружины равно сумме изменений длин ее витков:
$\Delta L = \sum_{j = 1}^{N} \Delta L_{j} = \frac{Mg}{2k} = \frac{L}{2}$,
откуда получаем
$\frac{Mg}{k} = L$.
Теперь рассмотрим случай, когда вода доходит до уровня $\frac{L}{2}$. Если при этом под водой оказались $n$ витков, то $N - n$ витков будут торчать из воды. Будем искать величину $\frac{n}{N}$. Мы можем записать нагрузку для каждого из подводных витков, найти изменение его длины, просуммировать эти изменения и приравнять сумму к величине $\frac{Ln}{N} - \frac{L}{2}$ (это разность между длиной $n$ витков в недеформированном состоянии и в конечном результате). Еще нужно учесть, что витки, которые погружены в воду, за счет действия на них силы Архимеда весят меньше - такой виток давит на нижние силой
$Mg \frac{ \rho - \rho_{0}}{ \rho N} = \alpha \frac{Mg}{N}$.
Итак, сила, сжимающая виток номер $i + 1$ (считая вниз от границы воды), равна
$F_{i} = Mg \frac{N - n}{N} + \alpha \frac{Mgi}{N}$,
а сумма изменений длин подводных витков -
$\sum_{i = 0}^{n} \frac{F_{i} }{kN} = Mgn \frac{N - n}{kN^{2} } + \frac{ \alpha Mgn^{2} }{2kN^{2} } = L \left ( \frac{n}{N} - \frac{1}{2} \right )$.
Вводя обозначение $\frac{n}{N} = x$ и используя соотношение $\frac{Mg}{k} = L$, получим относительно $x$ уравнение
$x (1 - x) + \frac{ \alpha x^{2} }{2} = x - \frac{1}{2}$,
откуда
$x = \frac{1}{ \sqrt{2 - \alpha}}$.
Теперь уже легко получить длину всей пружины, прибавив к длине $\frac{L}{2}$ подводной ее части длину деформированных $N - n$ витков надводной части:
$L^{*} = \frac{L}{2} + L(1-x) - \frac{L(1-x)^{2}}{2} = L \left ( 1 - \frac{x^{2}}{2} \right )$.
или
$L^{*} = L \frac{3- 2 \alpha}{2(2 - \alpha)}$, где $\alpha = \frac{ \rho - \rho_{0}}{ \rho}$.
