Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12701
2020-01-15 
Полуцилиндр изготовлен из оптически прозрачных цилиндрических слоев с разными значениями показателя преломления $n$. Полученная зависимость $n$ от радиуса слоя $r$ изображена на рисунке в координатах $ln n$ и $ln r$. Используя данную зависимость, найдите радиусы полуокружностей, по которым сможет распространяться тонкий пучок света при нормальном падении на плоскую поверхность полуцилиндра.
Решение:
Известно, что при распространении луча света между двумя точками в произвольной среде, в которой скорость света может быть различной в разных местах, он движется таким образом, что время его прохождения оказывается минимальным (принцип Ферма). Для случая движения луча по окружности радиусом $R$, где коэффициент преломления равен $n(R)$, время прохождения полуокружности равно
$t = \frac{ \pi R}{v} = \frac{ \pi R n (R)}{c}$,
где $v$ - скорость света в веществе, а $c$ - в вакууме. Для радиуса $R$, при котором такое возможно, должно выполняться условие минимальности времени:
$(Rn)^{ \prime} = Rn^{ \prime} + R^{ \prime}n = 0$.
Вспоминая свойства функции $ln x$, можно записать:
$ln R + ln n = const$.
Теперь можно найти возможные значения радиуса $R$, используя графический метод - находя на графике зависимости $ln n$ от $ln R$ точки с тем же углом наклона, что и у полученной нами прямой. Это две точки:
$ln R_{1} = 0,27 \pm 0,02 \Rightarrow R_{1} = 1,31 \pm 0,03 (см)$,
$ln R_{2} = 0,54 \pm 0,02 \Rightarrow R_{2} = 1,7 \pm 0,02 (см)$.
Полуцилиндр изготовлен из оптически прозрачных цилиндрических слоев с разными значениями показателя преломления $n$. Полученная зависимость $n$ от радиуса слоя $r$ изображена на рисунке в координатах $ln n$ и $ln r$. Используя данную зависимость, найдите радиусы полуокружностей, по которым сможет распространяться тонкий пучок света при нормальном падении на плоскую поверхность полуцилиндра.
Решение:
Известно, что при распространении луча света между двумя точками в произвольной среде, в которой скорость света может быть различной в разных местах, он движется таким образом, что время его прохождения оказывается минимальным (принцип Ферма). Для случая движения луча по окружности радиусом $R$, где коэффициент преломления равен $n(R)$, время прохождения полуокружности равно
$t = \frac{ \pi R}{v} = \frac{ \pi R n (R)}{c}$,
где $v$ - скорость света в веществе, а $c$ - в вакууме. Для радиуса $R$, при котором такое возможно, должно выполняться условие минимальности времени:
$(Rn)^{ \prime} = Rn^{ \prime} + R^{ \prime}n = 0$.
Вспоминая свойства функции $ln x$, можно записать:
$ln R + ln n = const$.
Теперь можно найти возможные значения радиуса $R$, используя графический метод - находя на графике зависимости $ln n$ от $ln R$ точки с тем же углом наклона, что и у полученной нами прямой. Это две точки:
$ln R_{1} = 0,27 \pm 0,02 \Rightarrow R_{1} = 1,31 \pm 0,03 (см)$,
$ln R_{2} = 0,54 \pm 0,02 \Rightarrow R_{2} = 1,7 \pm 0,02 (см)$.
