Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1270
2016-10-21 
Бесконечная электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из одинаковых батареек и одинаковых вольтметров. Показание самого левого вольтметра равно $U$, а показание каждого из следующих вольтметров в $n$ раз меньше, чем у соседнего с ним слева $(n > 1)$. Найдите ЭДС батарейки.
Решение:
Обозначим через $R$ сопротивление каждого из вольтметров, а через $r$ и $\mathcal{E}$ — внутреннее сопротивление и ЭДС каждой из батареек. Тогда сила тока, текущего через $k$-й вольтметр, равна $\frac{U}{Rn^{k}}$, а сила тока, текущего через $k$-ю батарейку, равна
$I_{k} = \frac{U}{R} \left ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \cdots + \frac{1}{n^{k}} \right ) = \frac{U}{R} \cdot \frac{1-(1/n)^{k+1}}{1-(1/n)}$
где $k = 0,1, 2, \cdots$.
Рассмотрим замкнутый участок исходной цепи, включающий в себя $k$-ю батарейку и два соседних с нею вольтметра (см. рис.). Как следует из закона Ома, ЭДС должна равняться сумме падений напряжения на всех трёх участках этой цепи:
$\mathcal{E} = I_{k}r + \frac{U}{Rn^{k}} \cdot R - \frac{U}{Rn^{k+1}} \cdot R = U \left ( \frac{1}{n^{k}} - \frac{1}{n^{k+1}} + \frac{r}{R} \cdot \frac{1 - (1/n)^{k+1}}{1-(1/n)} \right )$,
или
$\mathcal{E} = \frac{Ur}{R} \cdot \frac{1}{1-(1/n)} + \frac{U}{n^{k}} \left ( 1 - \frac{1}{n} - \frac{r}{R} \cdot \frac{1/n}{1-(1/n)} \right )$.
Поскольку полученное равенство должно быть справедливым для любого $k$, то заключённое в скобки выражение равно нулю:
$1 - \frac{1}{n} - \frac{r}{R} \cdot \frac{1/n}{1-(1/n)} = 0$.
Отсюда $\frac{r}{R} = \frac{(n-1)^{2}}{n}$, и искомая ЭДС равна
$\mathcal{E} = \frac{Ur}{R} \cdot \frac{n}{n-1} = U \cdot \frac{(n-1)^{2}}{n} \cdot \frac{n}{n-1} = (n-1)U$.
Бесконечная электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из одинаковых батареек и одинаковых вольтметров. Показание самого левого вольтметра равно $U$, а показание каждого из следующих вольтметров в $n$ раз меньше, чем у соседнего с ним слева $(n > 1)$. Найдите ЭДС батарейки.
Решение:
Обозначим через $R$ сопротивление каждого из вольтметров, а через $r$ и $\mathcal{E}$ — внутреннее сопротивление и ЭДС каждой из батареек. Тогда сила тока, текущего через $k$-й вольтметр, равна $\frac{U}{Rn^{k}}$, а сила тока, текущего через $k$-ю батарейку, равна
$I_{k} = \frac{U}{R} \left ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \cdots + \frac{1}{n^{k}} \right ) = \frac{U}{R} \cdot \frac{1-(1/n)^{k+1}}{1-(1/n)}$
где $k = 0,1, 2, \cdots$.
Рассмотрим замкнутый участок исходной цепи, включающий в себя $k$-ю батарейку и два соседних с нею вольтметра (см. рис.). Как следует из закона Ома, ЭДС должна равняться сумме падений напряжения на всех трёх участках этой цепи:
$\mathcal{E} = I_{k}r + \frac{U}{Rn^{k}} \cdot R - \frac{U}{Rn^{k+1}} \cdot R = U \left ( \frac{1}{n^{k}} - \frac{1}{n^{k+1}} + \frac{r}{R} \cdot \frac{1 - (1/n)^{k+1}}{1-(1/n)} \right )$,
или
$\mathcal{E} = \frac{Ur}{R} \cdot \frac{1}{1-(1/n)} + \frac{U}{n^{k}} \left ( 1 - \frac{1}{n} - \frac{r}{R} \cdot \frac{1/n}{1-(1/n)} \right )$.
Поскольку полученное равенство должно быть справедливым для любого $k$, то заключённое в скобки выражение равно нулю:
$1 - \frac{1}{n} - \frac{r}{R} \cdot \frac{1/n}{1-(1/n)} = 0$.
Отсюда $\frac{r}{R} = \frac{(n-1)^{2}}{n}$, и искомая ЭДС равна
$\mathcal{E} = \frac{Ur}{R} \cdot \frac{n}{n-1} = U \cdot \frac{(n-1)^{2}}{n} \cdot \frac{n}{n-1} = (n-1)U$.
