Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12697
2020-01-15 
Масса Харона, недавно открытого спутника Плутона, в 8 раз меньше массы планеты. Плутон и Харон обращаются по круговым траекториям вокруг общего центра масс, причем они все время "смотрят друг на друга", т. е. система вращается как единое твердое тело. Расстояние между центрами тел $R = 19640 км$, радиус Харона $r = 593 км$. Определите относительное различие в ускорениях свободного падения для наиболее близкой к Плутону и наиболее удаленной от него точек Харона.
Решение:
Запишем условие стационарности орбиты Харона:
$G \frac{Mm}{R^{2}} = m \omega^{2} x$,
где $M$ - масса Плутона, $m$ - масса Харона, $\omega$ - угловая скорость вращения, $x$ - радиус орбиты Харона. В наиболее близкой к Плутону точке Харона ускорение свободного падения равно
$g_{1} = G \frac{m}{r^{2} } - G \frac{M}{(R -r )^{2} } + \omega^{2} (x - r)$,
а в наиболее отдаленной точке -
$g_{2} = G \frac{m}{r^{2} } + G \frac{M}{(R + r)^{2} } - \omega^{2} (x + r)$.
Тогда абсолютное различие этих ускорений составляет
$\Delta g = g_{2} - g_{1} \approx 2G \frac{M}{R} \left ( \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} } - 1 \right ) \approx 6G \frac{M}{R^{2} } \left ( \frac{r}{R} \right )^{2}$,
а относительное различие -
$\frac{ \Delta g}{g} = \frac{ \Delta g}{ \frac{Gm}{r^{2} } } \approx 6 \frac{M}{m} \left ( \frac{r}{R} \right )^{4} \approx 4 \cdot 10^{-5}$.
Масса Харона, недавно открытого спутника Плутона, в 8 раз меньше массы планеты. Плутон и Харон обращаются по круговым траекториям вокруг общего центра масс, причем они все время "смотрят друг на друга", т. е. система вращается как единое твердое тело. Расстояние между центрами тел $R = 19640 км$, радиус Харона $r = 593 км$. Определите относительное различие в ускорениях свободного падения для наиболее близкой к Плутону и наиболее удаленной от него точек Харона.
Решение:
Запишем условие стационарности орбиты Харона:
$G \frac{Mm}{R^{2}} = m \omega^{2} x$,
где $M$ - масса Плутона, $m$ - масса Харона, $\omega$ - угловая скорость вращения, $x$ - радиус орбиты Харона. В наиболее близкой к Плутону точке Харона ускорение свободного падения равно
$g_{1} = G \frac{m}{r^{2} } - G \frac{M}{(R -r )^{2} } + \omega^{2} (x - r)$,
а в наиболее отдаленной точке -
$g_{2} = G \frac{m}{r^{2} } + G \frac{M}{(R + r)^{2} } - \omega^{2} (x + r)$.
Тогда абсолютное различие этих ускорений составляет
$\Delta g = g_{2} - g_{1} \approx 2G \frac{M}{R} \left ( \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} } - 1 \right ) \approx 6G \frac{M}{R^{2} } \left ( \frac{r}{R} \right )^{2}$,
а относительное различие -
$\frac{ \Delta g}{g} = \frac{ \Delta g}{ \frac{Gm}{r^{2} } } \approx 6 \frac{M}{m} \left ( \frac{r}{R} \right )^{4} \approx 4 \cdot 10^{-5}$.
