Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12693
2020-01-15 
На гладком горизонтальном столе расположен пружинный маятник - тяжелый груз на легкой пружине длина, которой в свободном состоянии $L = 50 см$ (см. рисунок). Из-за небольшого вязкого трения о воздух колебания маятника медленно затухают - амплитуда уменьшается в 2 раза за 10 полных колебаний. Для поддержания амплитуды неизменной поступают следующим образом: свободный конец пружины быстро сдвигают на $l = 1 мм$ навстречу грузу в тот момент, когда длина пружины минимальна, и возвращают в прежнее положение, когда она максимальна. Определите установившуюся амплитуду таких колебаний.
Решение:
Обозначим установившуюся амплитуду $x_{m}$, тогда сила, деформирующая пружину, при максимальной (и минимальной) длине равна
$F = kx_{m}$,
где $k$ - жесткость пружины. Если перемещение конца $l \ll x_{m}$ (это еще нужно будет проверить!), то работа внешних сил равна
$A = Fl = kx_{m}l$.
Эта работа, совершаемая дважды за период, должна компенсировать потери энергии за тот же период:
$2kx_{m}l = \alpha W = \frac{ \alpha k x_{m}^{2} }{2}$,
откуда
$x_{m} = \frac{4l}{ \alpha}$,
Теперь найдем $\alpha$. За 10 периодов амплитуда падает в 2 раза, значит, энергия уменьшается в 4 раза. Следовательно,
$(1 - \alpha )^{10} = \frac{1}{4}$, и $\alpha = 1 - \frac{1}{ \sqrt[5]{2}}$.
Итак,
$x_{m} = \frac{4l}{1 - \frac{1}{ \sqrt[5]{2} } } \approx 0,031 м$,
что действительно много больше $l = 1 мм$.
На гладком горизонтальном столе расположен пружинный маятник - тяжелый груз на легкой пружине длина, которой в свободном состоянии $L = 50 см$ (см. рисунок). Из-за небольшого вязкого трения о воздух колебания маятника медленно затухают - амплитуда уменьшается в 2 раза за 10 полных колебаний. Для поддержания амплитуды неизменной поступают следующим образом: свободный конец пружины быстро сдвигают на $l = 1 мм$ навстречу грузу в тот момент, когда длина пружины минимальна, и возвращают в прежнее положение, когда она максимальна. Определите установившуюся амплитуду таких колебаний.
Решение:
Обозначим установившуюся амплитуду $x_{m}$, тогда сила, деформирующая пружину, при максимальной (и минимальной) длине равна
$F = kx_{m}$,
где $k$ - жесткость пружины. Если перемещение конца $l \ll x_{m}$ (это еще нужно будет проверить!), то работа внешних сил равна
$A = Fl = kx_{m}l$.
Эта работа, совершаемая дважды за период, должна компенсировать потери энергии за тот же период:
$2kx_{m}l = \alpha W = \frac{ \alpha k x_{m}^{2} }{2}$,
откуда
$x_{m} = \frac{4l}{ \alpha}$,
Теперь найдем $\alpha$. За 10 периодов амплитуда падает в 2 раза, значит, энергия уменьшается в 4 раза. Следовательно,
$(1 - \alpha )^{10} = \frac{1}{4}$, и $\alpha = 1 - \frac{1}{ \sqrt[5]{2}}$.
Итак,
$x_{m} = \frac{4l}{1 - \frac{1}{ \sqrt[5]{2} } } \approx 0,031 м$,
что действительно много больше $l = 1 мм$.
