Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1269
2016-10-20 
На рисунке изображена вольт-амперная характеристика некоторой лампочки накаливания. Из таких лампочек собирают бесконечную цепь (см. рисунок). Какое максимальное напряжение можно приложить к клеммам, чтобы ни одна лампочка не перегорела?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
При подаче напряжения на цепь из лампочек (рис. 1) в первую очередь будет перегорать лампочка 1. Действительно, текущий через неё ток $I_{1}$ равен сумме токов $I_{2}$ и $I_{3}$, текущих через лампочки 2 и 3, и поэтому является наибольшим из всех токов в этой цепи.
Пусть к клеммам приложено максимально возможное напряжение, при котором лампочка 1 ещё не перегорает. Тогда, как следует из приведённой в условии вольт-амперной характеристики, напряжение на этой лампочке равно $U_{1} = 3 В$, а текущий через неё ток составляет $I_{1} = 0,4 А$. Следовательно, наименьший из токов $I_{2}$ и $I_{3}$ меньше 0,2 А.
Заметим, что поскольку $U_{2} = U_{3} + U_{4}$, то $U_{2} > U_{3}$, и поэтому $I_{2} > I_{3}$. Следовательно. $I_{3} < 0,2 А$. Рассуждая аналогично, можно показать, что токи, текущие через все остальные лампочки с номерами, большими чем 3, также удовлетворяют этому условию.
Из приведённой в условии вольт-амперной характеристики следует, что при $I < 0,2 А$ лампочку можно заменить на резистор с постоянным сопротивлением $R \approx 5 Ом$. Таким образом, рассматриваемая цепь из лампочек может быть заменена на эквивалентную схему, показанную на рисунке 2. Найдём сопротивление $R_{0}$ бесконечной цепочки, обведённой пунктирной рамкой. Эта цепочка состоит из одинаковых резисторов с сопротивлениями $R$, и её сопротивление может быть найдено при помощи способа, который использовался для вычисления сопротивления первой вспомогательной цепочки в решении задачи 1265. Для сопротивления $R_{0}$ можно записать: $R_{0} = R + \frac{RR_{0}}{R+R_{0}}$, откуда $R_{0} = 0,5( \sqrt{5} + 1)R \approx 8 Ом$.
Вернёмся к исходной цепочке из лампочек. Напряжение на лампочке 2 равно $U_{2} = (I_{1} — I_{2})R_{0}$, откуда текущий через неё ток $I_{2} = I_{1} - \frac{U_{2}}{R_{0}}$. Значит, для того, чтобы определить величину $U_{2}$, нужно найти точку пересечения графика
$I = I_{1} - \frac{1}{R_{0}} U = 0,4 - 0,125U$
и вольт-амперной характеристики, приведённой в условии. Выполнив построение (см. рис. 3), получаем $U_{2} \approx 1,2 В$. Следовательно, искомое напряжение, при прикладывании которого к клеммам цепи ни одна из лампочек не перегорает, равно $U = U_{1} + U_{2} \approx 4,2 В$.
На рисунке изображена вольт-амперная характеристика некоторой лампочки накаливания. Из таких лампочек собирают бесконечную цепь (см. рисунок). Какое максимальное напряжение можно приложить к клеммам, чтобы ни одна лампочка не перегорела?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
При подаче напряжения на цепь из лампочек (рис. 1) в первую очередь будет перегорать лампочка 1. Действительно, текущий через неё ток $I_{1}$ равен сумме токов $I_{2}$ и $I_{3}$, текущих через лампочки 2 и 3, и поэтому является наибольшим из всех токов в этой цепи.
Пусть к клеммам приложено максимально возможное напряжение, при котором лампочка 1 ещё не перегорает. Тогда, как следует из приведённой в условии вольт-амперной характеристики, напряжение на этой лампочке равно $U_{1} = 3 В$, а текущий через неё ток составляет $I_{1} = 0,4 А$. Следовательно, наименьший из токов $I_{2}$ и $I_{3}$ меньше 0,2 А.
Заметим, что поскольку $U_{2} = U_{3} + U_{4}$, то $U_{2} > U_{3}$, и поэтому $I_{2} > I_{3}$. Следовательно. $I_{3} < 0,2 А$. Рассуждая аналогично, можно показать, что токи, текущие через все остальные лампочки с номерами, большими чем 3, также удовлетворяют этому условию.
Из приведённой в условии вольт-амперной характеристики следует, что при $I < 0,2 А$ лампочку можно заменить на резистор с постоянным сопротивлением $R \approx 5 Ом$. Таким образом, рассматриваемая цепь из лампочек может быть заменена на эквивалентную схему, показанную на рисунке 2. Найдём сопротивление $R_{0}$ бесконечной цепочки, обведённой пунктирной рамкой. Эта цепочка состоит из одинаковых резисторов с сопротивлениями $R$, и её сопротивление может быть найдено при помощи способа, который использовался для вычисления сопротивления первой вспомогательной цепочки в решении задачи 1265. Для сопротивления $R_{0}$ можно записать: $R_{0} = R + \frac{RR_{0}}{R+R_{0}}$, откуда $R_{0} = 0,5( \sqrt{5} + 1)R \approx 8 Ом$.
Вернёмся к исходной цепочке из лампочек. Напряжение на лампочке 2 равно $U_{2} = (I_{1} — I_{2})R_{0}$, откуда текущий через неё ток $I_{2} = I_{1} - \frac{U_{2}}{R_{0}}$. Значит, для того, чтобы определить величину $U_{2}$, нужно найти точку пересечения графика
$I = I_{1} - \frac{1}{R_{0}} U = 0,4 - 0,125U$
и вольт-амперной характеристики, приведённой в условии. Выполнив построение (см. рис. 3), получаем $U_{2} \approx 1,2 В$. Следовательно, искомое напряжение, при прикладывании которого к клеммам цепи ни одна из лампочек не перегорает, равно $U = U_{1} + U_{2} \approx 4,2 В$.
