Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12686
2020-01-15 
Катушка индуктивностью $L = 1 Гн$ намотана на тороидальный сердечник с большой магнитной проницаемостью. Катушку подключают к выводу генератора звуковой частоты последовательно с амперметром переменного тока (рис.). Конденсатор емкостью $C = 1 мкФ$ подключен к отводу от середины катушки. Найдите амплитуду тока через амперметр в зависимости от частоты $\omega$ генератора и сдвиг фаз между этим током и напряжением генератора. То же - для тока, потребляемого схемой от генератора. Амплитуда напряжения генератора $U_{0} = 1 В$. Сопротивления амперметра и источника считать малыми.
Решение:
В катушке с ферромагнитным кольцевым сердечником линии магнитной индукции практически не "уходят" из сердечника, и магнитный поток через каждый из витков один и тот же. Из этого сразу следует, что напряжения на половинах катушки совершенно одинаковы - они ведь определяются магнитными потоками этих половин. Следовательно, напряжение на конденсаторе равно половине напряжения генератора:
$U_{C} = \frac{1}{2} U_{0} \cos \omega t$,
а ток через конденсатор равен (рис.)
$I_{1} = \frac{1}{2} U_{0} \omega C \cos \left ( \omega t + \frac{ \pi}{2} \right ) = - \frac{1}{2} \omega C U_{0} \sin \omega t$,
Сразу найдем и его производную - дальше пригодится:
$I_{1}^{ \prime} = - \frac{1}{2} \omega^{2} CU_{0} \cos \omega t$.
Магнитное поле $B$ в сердечнике складывается из полей всех витков, поле каждого витка пропорционально его току:
$B = \frac{n}{2} A (I + I_{1}) + \frac{n}{2} AI$,
где $n$ - число витков в катушке, $A$ - коэффициент пропорциональности. Магнитный поток через всю катушку равен
$\Phi = BSn = An^{2}S \left ( I + \frac{1}{2} I_{1} \right )$,
где $S$ - площадь сечения катушки. Если бы конденсатора не было, т. е. катушка была бы подключена "без всяких фокусов", то выполнялось бы условие
$\Phi^{*} = An^{2} SI^{*} = LI^{*}$,
откуда
$An^{2}S = L$.
И наконец, запишем уравнение для напряжения на катушке в нашей цепи:
$U = \Phi^{ \prime} = An^{2}S \left ( I^{ \prime} + \frac{1}{2} I_{1}^{ \prime} \right ) = LI^{ \prime} + \frac{1}{2} LI_{1}^{ \prime} = U_{0} \cos \omega t$,
или
$LI^{ \prime} = U_{0} \cos \omega t - \frac{1}{2} LI_{1}^{ \prime} = U_{0} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \cos \omega t$.
Отсюда сразу найдем ток через амперметр -
$I = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \sin \omega t$,
его амплитуду в зависимости от частоты генератора -
$I_{0} = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right )$
и сдвиг фаз между этим током и напряжением конденсатора -
$\phi = - \pi /2$.
Ток, потребляемый схемой от генератора, равен
$I_{г} = I + I_{1} = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 - \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \sin \omega t$.
Следовательно, его амплитуда равна
$I_{г0} = \frac{ U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 - \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right )$,
а сдвиг фаз между ним и напряжением генератора -
$\phi_{г} = - \pi /2$ при $\omega < \frac{2}{ \sqrt{LC} }$ и $\phi_{г} = \pi /2$ при $\omega > \frac{2}{ \sqrt{LC} }$.
Катушка индуктивностью $L = 1 Гн$ намотана на тороидальный сердечник с большой магнитной проницаемостью. Катушку подключают к выводу генератора звуковой частоты последовательно с амперметром переменного тока (рис.). Конденсатор емкостью $C = 1 мкФ$ подключен к отводу от середины катушки. Найдите амплитуду тока через амперметр в зависимости от частоты $\omega$ генератора и сдвиг фаз между этим током и напряжением генератора. То же - для тока, потребляемого схемой от генератора. Амплитуда напряжения генератора $U_{0} = 1 В$. Сопротивления амперметра и источника считать малыми.
Решение:
В катушке с ферромагнитным кольцевым сердечником линии магнитной индукции практически не "уходят" из сердечника, и магнитный поток через каждый из витков один и тот же. Из этого сразу следует, что напряжения на половинах катушки совершенно одинаковы - они ведь определяются магнитными потоками этих половин. Следовательно, напряжение на конденсаторе равно половине напряжения генератора:
$U_{C} = \frac{1}{2} U_{0} \cos \omega t$,
а ток через конденсатор равен (рис.)
$I_{1} = \frac{1}{2} U_{0} \omega C \cos \left ( \omega t + \frac{ \pi}{2} \right ) = - \frac{1}{2} \omega C U_{0} \sin \omega t$,
Сразу найдем и его производную - дальше пригодится:
$I_{1}^{ \prime} = - \frac{1}{2} \omega^{2} CU_{0} \cos \omega t$.
Магнитное поле $B$ в сердечнике складывается из полей всех витков, поле каждого витка пропорционально его току:
$B = \frac{n}{2} A (I + I_{1}) + \frac{n}{2} AI$,
где $n$ - число витков в катушке, $A$ - коэффициент пропорциональности. Магнитный поток через всю катушку равен
$\Phi = BSn = An^{2}S \left ( I + \frac{1}{2} I_{1} \right )$,
где $S$ - площадь сечения катушки. Если бы конденсатора не было, т. е. катушка была бы подключена "без всяких фокусов", то выполнялось бы условие
$\Phi^{*} = An^{2} SI^{*} = LI^{*}$,
откуда
$An^{2}S = L$.
И наконец, запишем уравнение для напряжения на катушке в нашей цепи:
$U = \Phi^{ \prime} = An^{2}S \left ( I^{ \prime} + \frac{1}{2} I_{1}^{ \prime} \right ) = LI^{ \prime} + \frac{1}{2} LI_{1}^{ \prime} = U_{0} \cos \omega t$,
или
$LI^{ \prime} = U_{0} \cos \omega t - \frac{1}{2} LI_{1}^{ \prime} = U_{0} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \cos \omega t$.
Отсюда сразу найдем ток через амперметр -
$I = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \sin \omega t$,
его амплитуду в зависимости от частоты генератора -
$I_{0} = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 + \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right )$
и сдвиг фаз между этим током и напряжением конденсатора -
$\phi = - \pi /2$.
Ток, потребляемый схемой от генератора, равен
$I_{г} = I + I_{1} = \frac{U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 - \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right ) \sin \omega t$.
Следовательно, его амплитуда равна
$I_{г0} = \frac{ U_{0} }{ \omega L} \left ( 1 - \frac{1}{4} \omega^{2}LC \right )$,
а сдвиг фаз между ним и напряжением генератора -
$\phi_{г} = - \pi /2$ при $\omega < \frac{2}{ \sqrt{LC} }$ и $\phi_{г} = \pi /2$ при $\omega > \frac{2}{ \sqrt{LC} }$.
