Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12685
2020-01-15 
Медный диск массой $m$ и диаметром $D$ может свободно вращаться вокруг закрепленной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Центр и край диска соединена резистором сопротивлением $R$ при помощи скользящих контактов. Вся система помещена в однородное магнитное поле $\vec{B}$, параллельное оси диска. Диск раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$ и отпускают. Сколько оборотов сделает диск до полной остановки? Теперь последовательно с резистором включим батарею напряжением $U_{0}$. За какое время диск раскрутится из состояния покоя до угловой скорости $\omega_{0}$?
Решение:
Докажем, что для любого (вообще говоря, достаточно сложного) распределения по диску токов, текущих к центру от скользящего контакта на периферии, момент сил, действующий на диск, будет таким же, как если бы ток тек по радиусу, идущему к контакту. Рассмотрим кольцо с радиусами $r$ и $r + \Delta r$ и посмотрим, какой момент сил оно создает; важно, что вклад в момент дает только радиальная компонента скорости носителей зарядов:
$\Delta M = \sum \Delta Fr = \sum qv_{рад} Br = iBr \Delta r$,
где $i$ - полный ток. Тогда полный момент сил равен
$M = \sum \Delta M = \sum iBr \Delta r = \frac{1}{8} iBD^{2}$.
Учитывая, что момент инерции диска $I = \frac{1}{2} m \left ( \frac{D}{2} \right )^{2}$, получаем уравнение движения диска
$I \omega^{ \prime} = M$, или $\frac{1}{8} mD^{2} \omega^{ \prime} = \frac{1}{8} iBD^{2}$,
откуда
$\omega^{ \prime} = \frac{iB}{m}$.
Теперь осталось найти ток. В диске возникает ЭДС индукции
$\mathcal{E} = \sum \omega r B \Delta r = \frac{1}{8} \omega BD^{2}$.
Для первого случая, согласно закону Ома,
$i = \frac{ \mathcal{E}}{R} = \frac{ \omega BD^{2}}{8R}$.
Таким образом,
$\omega^{ \prime} = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega$ (диск тормозится!),
или
$\Delta \omega = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega \Delta t = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \Delta phi$.
Суммируя, получим
$- \omega_{0} = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \phi_{полн}$,
откуда найдем полный угол поворота диска до остановки -
$\phi_{полн} = \frac{8 mR \omega_{0} }{B^{2}D^{2} }$
и число оборотов до остановки -
$N = \frac{ \phi_{полн}}{2 \pi} = \frac{4 m R \omega_{0}}{ \pi B^{2}D^{2} }$.
Если последовательно с резистором включена батарея, то закон Ома принимает вид
$i = \frac{U_{0} - \mathcal{E}}{R} = \frac{U_{0} - \frac{ \omega BD^{2} }{8} }{R}$.
Тогда
$\omega^{ \prime} = \frac{U_{0}B}{mR} - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega$,
$\omega (t) = \frac{8U_{0} }{BD^{2} } \left ( 1 - e^{ - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} } \right )$.
В некоторый момент $t_{x}$
$\omega (t_{x} ) = \omega_{0}$,
откуда
$t_{x} = \frac{8mR}{B^{2}D^{2} } ln \left ( 1 - \frac{ \omega_{0}BD^{2} }{8U_{0} } \right ) $.
Медный диск массой $m$ и диаметром $D$ может свободно вращаться вокруг закрепленной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Центр и край диска соединена резистором сопротивлением $R$ при помощи скользящих контактов. Вся система помещена в однородное магнитное поле $\vec{B}$, параллельное оси диска. Диск раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$ и отпускают. Сколько оборотов сделает диск до полной остановки? Теперь последовательно с резистором включим батарею напряжением $U_{0}$. За какое время диск раскрутится из состояния покоя до угловой скорости $\omega_{0}$?
Решение:
Докажем, что для любого (вообще говоря, достаточно сложного) распределения по диску токов, текущих к центру от скользящего контакта на периферии, момент сил, действующий на диск, будет таким же, как если бы ток тек по радиусу, идущему к контакту. Рассмотрим кольцо с радиусами $r$ и $r + \Delta r$ и посмотрим, какой момент сил оно создает; важно, что вклад в момент дает только радиальная компонента скорости носителей зарядов:
$\Delta M = \sum \Delta Fr = \sum qv_{рад} Br = iBr \Delta r$,
где $i$ - полный ток. Тогда полный момент сил равен
$M = \sum \Delta M = \sum iBr \Delta r = \frac{1}{8} iBD^{2}$.
Учитывая, что момент инерции диска $I = \frac{1}{2} m \left ( \frac{D}{2} \right )^{2}$, получаем уравнение движения диска
$I \omega^{ \prime} = M$, или $\frac{1}{8} mD^{2} \omega^{ \prime} = \frac{1}{8} iBD^{2}$,
откуда
$\omega^{ \prime} = \frac{iB}{m}$.
Теперь осталось найти ток. В диске возникает ЭДС индукции
$\mathcal{E} = \sum \omega r B \Delta r = \frac{1}{8} \omega BD^{2}$.
Для первого случая, согласно закону Ома,
$i = \frac{ \mathcal{E}}{R} = \frac{ \omega BD^{2}}{8R}$.
Таким образом,
$\omega^{ \prime} = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega$ (диск тормозится!),
или
$\Delta \omega = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega \Delta t = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \Delta phi$.
Суммируя, получим
$- \omega_{0} = - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \phi_{полн}$,
откуда найдем полный угол поворота диска до остановки -
$\phi_{полн} = \frac{8 mR \omega_{0} }{B^{2}D^{2} }$
и число оборотов до остановки -
$N = \frac{ \phi_{полн}}{2 \pi} = \frac{4 m R \omega_{0}}{ \pi B^{2}D^{2} }$.
Если последовательно с резистором включена батарея, то закон Ома принимает вид
$i = \frac{U_{0} - \mathcal{E}}{R} = \frac{U_{0} - \frac{ \omega BD^{2} }{8} }{R}$.
Тогда
$\omega^{ \prime} = \frac{U_{0}B}{mR} - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} \omega$,
$\omega (t) = \frac{8U_{0} }{BD^{2} } \left ( 1 - e^{ - \frac{B^{2}D^{2} }{8mR} } \right )$.
В некоторый момент $t_{x}$
$\omega (t_{x} ) = \omega_{0}$,
откуда
$t_{x} = \frac{8mR}{B^{2}D^{2} } ln \left ( 1 - \frac{ \omega_{0}BD^{2} }{8U_{0} } \right ) $.
