Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12678
2020-01-15 
В теплоизолированном цилиндрическом сосуде под поршнем находится сильно разреженный гелий при температуре $T_{0} = 100 К$. Поршень очень медленно отодвигают на некоторое расстояние, после чего в сосуде устанавливается температура $T_{1} = 99 К$. Какая температура установится в сосуде, если поршень передвинуть очень быстро? Что такое "очень быстро" в этом случае? Сделайте оценку такой скорости передвижения поршня, при которой изменение температуры составит $\Delta T = 0,5 К$.
Решение:
Скорости молекул при ударе об удаляющийся поршень уменьшаются. Если скорость поршня $u$, а молекула догоняет поршень со скоростью $v_{x}$, то после абсолютно упругого удара ее скорость будет $v_{x}^{*} = v_{x} - 2u$. Потеря энергии молекулы составит
$\Delta w = \frac{mv_{x}^{2} }{2} - \frac{mv^{* 2} }{2} = 2mu(v_{x} - u )$.
Оценим обычным способом число ударов за малый промежуток времени $\Delta t$, считая и $u \ll v_{x}$:
$N = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t$,
где $n$ - концентрация молекул, $S$ - площадь поршня. Тогда потеря энергии всех столкнувшихся с поршнем молекул будет
$\Delta W = N \Delta w = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t \cdot 2mu(v_{x} - u ) \approx nmv_{x}^{2}Su \Delta t = nmv_{x}^{2} \Delta V$,
где $\Delta V$ - изменение объема цилиндра.
Это соответствует обычному адиабатическому расширению. Вели поршень движется быстрее, число ударов уменьшается и потери энергии становятся меньше В пределе при $u \gg v_{x}$, т, е. когда поршень перемещают очень быстро, температура газа вообще не уменьшается (происходит так называемое расширение идеального газа в пустоту - без ударов о поршень). Мы сделаем довольно грубую оценку - при аккуратном расчете пришлось бы "честно" учитывать распределение молекул по скоростям - и получим
$N^{ \prime} = \frac{1}{2} nS(v_{x} - u ) \Delta t$,
$\Delta W^{ \prime} = N^{ \prime} \Delta w = \frac{1}{2} nS (v_{x} - u ) \Delta t \cdot 2mu(v_{x} - u ) = nm (v_{x} - u )^{2} \Delta V$.
Мы видим, что в этом случае нужно брать среднее значение не от $v_{x}^{2}$, а от $(v_{x} - u)^{2}$. Эта величина по условию должна быть в 2 раза меньше ($\Delta T = \frac{1}{2} (T_{0} - T_{1})$), т. е.
$\overline{(v_{x} - u)^{2}} = \frac{1}{2} \overline{v_{x}^{2} }$, или $u \approx 0,3| v_{x \: ср}|$.
Для оценки $v_{x \: ср}$ примем
$| v_{x \: ср} | \approx \sqrt{ \overline{v_{x}^{2} }} = \sqrt{ \frac{RT_{0} }{M} }$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная, $M$ - молярная масса гелия. Тогда
$u \approx 0,3 \sqrt{ \frac{RT_{0}}{M}} \approx 140 м/с$.
Более аккуратная оценка $| v_{x \: ср} |$ не имеет особого смысла - при расчете числа ударов о поршень мы не были особенно точны.
В теплоизолированном цилиндрическом сосуде под поршнем находится сильно разреженный гелий при температуре $T_{0} = 100 К$. Поршень очень медленно отодвигают на некоторое расстояние, после чего в сосуде устанавливается температура $T_{1} = 99 К$. Какая температура установится в сосуде, если поршень передвинуть очень быстро? Что такое "очень быстро" в этом случае? Сделайте оценку такой скорости передвижения поршня, при которой изменение температуры составит $\Delta T = 0,5 К$.
Решение:
Скорости молекул при ударе об удаляющийся поршень уменьшаются. Если скорость поршня $u$, а молекула догоняет поршень со скоростью $v_{x}$, то после абсолютно упругого удара ее скорость будет $v_{x}^{*} = v_{x} - 2u$. Потеря энергии молекулы составит
$\Delta w = \frac{mv_{x}^{2} }{2} - \frac{mv^{* 2} }{2} = 2mu(v_{x} - u )$.
Оценим обычным способом число ударов за малый промежуток времени $\Delta t$, считая и $u \ll v_{x}$:
$N = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t$,
где $n$ - концентрация молекул, $S$ - площадь поршня. Тогда потеря энергии всех столкнувшихся с поршнем молекул будет
$\Delta W = N \Delta w = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t \cdot 2mu(v_{x} - u ) \approx nmv_{x}^{2}Su \Delta t = nmv_{x}^{2} \Delta V$,
где $\Delta V$ - изменение объема цилиндра.
Это соответствует обычному адиабатическому расширению. Вели поршень движется быстрее, число ударов уменьшается и потери энергии становятся меньше В пределе при $u \gg v_{x}$, т, е. когда поршень перемещают очень быстро, температура газа вообще не уменьшается (происходит так называемое расширение идеального газа в пустоту - без ударов о поршень). Мы сделаем довольно грубую оценку - при аккуратном расчете пришлось бы "честно" учитывать распределение молекул по скоростям - и получим
$N^{ \prime} = \frac{1}{2} nS(v_{x} - u ) \Delta t$,
$\Delta W^{ \prime} = N^{ \prime} \Delta w = \frac{1}{2} nS (v_{x} - u ) \Delta t \cdot 2mu(v_{x} - u ) = nm (v_{x} - u )^{2} \Delta V$.
Мы видим, что в этом случае нужно брать среднее значение не от $v_{x}^{2}$, а от $(v_{x} - u)^{2}$. Эта величина по условию должна быть в 2 раза меньше ($\Delta T = \frac{1}{2} (T_{0} - T_{1})$), т. е.
$\overline{(v_{x} - u)^{2}} = \frac{1}{2} \overline{v_{x}^{2} }$, или $u \approx 0,3| v_{x \: ср}|$.
Для оценки $v_{x \: ср}$ примем
$| v_{x \: ср} | \approx \sqrt{ \overline{v_{x}^{2} }} = \sqrt{ \frac{RT_{0} }{M} }$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная, $M$ - молярная масса гелия. Тогда
$u \approx 0,3 \sqrt{ \frac{RT_{0}}{M}} \approx 140 м/с$.
Более аккуратная оценка $| v_{x \: ср} |$ не имеет особого смысла - при расчете числа ударов о поршень мы не были особенно точны.
