Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12676
2020-01-15 
В однополупериодном выпрямителе для зарядки аккумулятора А (рис. 1); "высох" электролитический конденсатор большой емкости - его емкость упала во много раз. Во сколько раз увеличится время, необходимое для зарядки аккумулятора? Действующее значение напряжения источника переменного напряжения $U = 15 В$, напряжение аккумулятора $\mathcal{E} = 12 В$. Диод считайте идеальным.
Решение:
Если конденсатор на выходе выпрямителя еще не "высох" и имеет большую емкость, то напряжение в нем можно считать неизменным и равным $U \sqrt{2} \approx 21,2 В$. За один период $T$ через аккумулятор протечет заряд
$q_{0} = \frac{U \sqrt{2} - \mathcal{E} }{r} T = 2 \pi \frac{U \sqrt{2} - \mathcal{E} }{r \omega}$,
где $r$ - внутреннее сопротивление аккумулятора, $\omega$ - частота колебаний тока.
Если емкость конденсатора станет совсем малой, то напряжение на выходе выпрямителя будет пульсирующим (рис.), и за период ток через аккумулятор будет протекать лишь в течение промежутка времени от $- t_{1}$ до $t_{1}$. Время $t_{1}$ можно найти из условия
$U \sqrt{2} \cos \omega t_{1} = \mathcal{E} \Rightarrow t_{1} = \frac{1}{ \omega } arccos \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} }$.
Для расчета заряда, прошедшего через аккумулятор, в этом случае придется интегрировать:
$q_{1} = \int_{-t_{1} }^{t_{1} } \frac{U \sqrt{2} \cos \omega t - \mathcal{E} }{r} dt = \frac{2U \sqrt{2} }{r \omega} \sin \omega t_{1} - \frac{2t_{1} \mathcal{E} }{r}$
Таким образом, время зарядки аккумулятора увеличится в $n = q_{0}/q_{1}$ раз:
$n = \frac{2 \pi (U \sqrt{2} - \mathcal{E} ) }{r \omega} \left ( \frac{2U \sqrt{2} }{r \omega} \sqrt{1 - \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2U^{2} } } - \frac{2 \mathcal{E} }{r \omega} arccos \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} } \right )^{-1} = \pi \frac{1 - x}{ \sqrt{1 - x^{2} } - x arccos x }$,
где $x = \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} } \approx 0,566$.
Окончательно
$n \approx 4,94 \approx 5$,
т. е. время зарядки возрастет примерно в 5 раз.
В однополупериодном выпрямителе для зарядки аккумулятора А (рис. 1); "высох" электролитический конденсатор большой емкости - его емкость упала во много раз. Во сколько раз увеличится время, необходимое для зарядки аккумулятора? Действующее значение напряжения источника переменного напряжения $U = 15 В$, напряжение аккумулятора $\mathcal{E} = 12 В$. Диод считайте идеальным.
Решение:
Если конденсатор на выходе выпрямителя еще не "высох" и имеет большую емкость, то напряжение в нем можно считать неизменным и равным $U \sqrt{2} \approx 21,2 В$. За один период $T$ через аккумулятор протечет заряд
$q_{0} = \frac{U \sqrt{2} - \mathcal{E} }{r} T = 2 \pi \frac{U \sqrt{2} - \mathcal{E} }{r \omega}$,
где $r$ - внутреннее сопротивление аккумулятора, $\omega$ - частота колебаний тока.
Если емкость конденсатора станет совсем малой, то напряжение на выходе выпрямителя будет пульсирующим (рис.), и за период ток через аккумулятор будет протекать лишь в течение промежутка времени от $- t_{1}$ до $t_{1}$. Время $t_{1}$ можно найти из условия
$U \sqrt{2} \cos \omega t_{1} = \mathcal{E} \Rightarrow t_{1} = \frac{1}{ \omega } arccos \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} }$.
Для расчета заряда, прошедшего через аккумулятор, в этом случае придется интегрировать:
$q_{1} = \int_{-t_{1} }^{t_{1} } \frac{U \sqrt{2} \cos \omega t - \mathcal{E} }{r} dt = \frac{2U \sqrt{2} }{r \omega} \sin \omega t_{1} - \frac{2t_{1} \mathcal{E} }{r}$
Таким образом, время зарядки аккумулятора увеличится в $n = q_{0}/q_{1}$ раз:
$n = \frac{2 \pi (U \sqrt{2} - \mathcal{E} ) }{r \omega} \left ( \frac{2U \sqrt{2} }{r \omega} \sqrt{1 - \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2U^{2} } } - \frac{2 \mathcal{E} }{r \omega} arccos \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} } \right )^{-1} = \pi \frac{1 - x}{ \sqrt{1 - x^{2} } - x arccos x }$,
где $x = \frac{ \mathcal{E} }{U \sqrt{2} } \approx 0,566$.
Окончательно
$n \approx 4,94 \approx 5$,
т. е. время зарядки возрастет примерно в 5 раз.
