Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12669
2020-01-15 
Тонкая квадратная пластинка АБВГ сделана из меди. Ее нагревают со стороны торца АБ, поддерживая его температуру равной $100^{ \circ} С$, и охлаждают со стороны трех остальных торцов, поддерживая их температуру равной $0^{ \circ} С$. Найдите температуру в центре пластинки.
Решение:
Сразу нужно сказать, что полностью решить эту задачу - найти распределение температур по пластинке - очень трудно (а в рамках школьной программы - просто невозможно). Однако нам нужно найти температуру только в одной точке, и расположена эта точка очень удачно - в центре пластинки, так что дело небезнадежно.
Сформулируем вспомогательное утверждение (которое вполне очевидно): если при заданных температурах торцов в пластинке установилось равновесное распределение температур, и мы увеличим температуры всех торцов на величину $\Delta t$, то все равновесные температуры увеличатся тоже на $\Delta t$.
Еще одно утверждение (куда менее очевидное - над ним придется подумать): если мы увеличим температуры торцов на разные величины $\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \Delta t_{3}, \Delta t_{4}$, то увеличение температуры в данной точке, из-за дополнительно возникших тепловых потоков, будет таким, какой была бы равновесная температура в этой точке, если бы температуры торцов были $\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \Delta t_{3}, \Delta t_{4}$.
Это нужно обсудить. Во-первых, не вполне ясно, чего же мы достигли - ведь вспомогательная задача ничуть не проще первоначальной (заданы температуры торцов и нужно найти температуру в центре). На самом деле эта задача все же проще - мы сами выберем $\Delta t_{1}, \cdots , \Delta t_{4}$ так, чтобы ответ было легко угадать. Во-вторых, не странно ли складывать температуры в точке ("... температуры двух физиков равны по $36,6^{ \circ} С$, поставим физиков рядом и найдем получившуюся температуру: $t_{общ} = 36,6^{ \circ} С + 36,6^{ \circ} С = 73,2{ \circ} С$...")? Конечно, пример в скобках абсурден, но мы собираемся складывать вовсе не температуры, а тепловые потоки. Результирующую же температуру мы найдем, учтя температурные добавки, вызванные дополнительными потоками.
Итак, будем решать. На рисунках приведены простые примеры, в которых легко угадать (в последнем - чуть сложнее) температуры в центре пластинки. Они равны соответственно $-50^{ \circ} С, +25^{ \circ} С, + 25^{ \circ} С, +25^{ \circ} С$.
А теперь, начав с ситуации, изображенной на рисунке, будем увеличивать температуры торцов, "накладывая" ситуации. После всего мы получим искомое распределение температур (рис.), а температура в центре пластинки будет равна $+25^{ \circ} С$. Это и есть ответ.
Тонкая квадратная пластинка АБВГ сделана из меди. Ее нагревают со стороны торца АБ, поддерживая его температуру равной $100^{ \circ} С$, и охлаждают со стороны трех остальных торцов, поддерживая их температуру равной $0^{ \circ} С$. Найдите температуру в центре пластинки.
Решение:
Сразу нужно сказать, что полностью решить эту задачу - найти распределение температур по пластинке - очень трудно (а в рамках школьной программы - просто невозможно). Однако нам нужно найти температуру только в одной точке, и расположена эта точка очень удачно - в центре пластинки, так что дело небезнадежно.
Сформулируем вспомогательное утверждение (которое вполне очевидно): если при заданных температурах торцов в пластинке установилось равновесное распределение температур, и мы увеличим температуры всех торцов на величину $\Delta t$, то все равновесные температуры увеличатся тоже на $\Delta t$.
Еще одно утверждение (куда менее очевидное - над ним придется подумать): если мы увеличим температуры торцов на разные величины $\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \Delta t_{3}, \Delta t_{4}$, то увеличение температуры в данной точке, из-за дополнительно возникших тепловых потоков, будет таким, какой была бы равновесная температура в этой точке, если бы температуры торцов были $\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \Delta t_{3}, \Delta t_{4}$.
Это нужно обсудить. Во-первых, не вполне ясно, чего же мы достигли - ведь вспомогательная задача ничуть не проще первоначальной (заданы температуры торцов и нужно найти температуру в центре). На самом деле эта задача все же проще - мы сами выберем $\Delta t_{1}, \cdots , \Delta t_{4}$ так, чтобы ответ было легко угадать. Во-вторых, не странно ли складывать температуры в точке ("... температуры двух физиков равны по $36,6^{ \circ} С$, поставим физиков рядом и найдем получившуюся температуру: $t_{общ} = 36,6^{ \circ} С + 36,6^{ \circ} С = 73,2{ \circ} С$...")? Конечно, пример в скобках абсурден, но мы собираемся складывать вовсе не температуры, а тепловые потоки. Результирующую же температуру мы найдем, учтя температурные добавки, вызванные дополнительными потоками.
Итак, будем решать. На рисунках приведены простые примеры, в которых легко угадать (в последнем - чуть сложнее) температуры в центре пластинки. Они равны соответственно $-50^{ \circ} С, +25^{ \circ} С, + 25^{ \circ} С, +25^{ \circ} С$.
А теперь, начав с ситуации, изображенной на рисунке, будем увеличивать температуры торцов, "накладывая" ситуации. После всего мы получим искомое распределение температур (рис.), а температура в центре пластинки будет равна $+25^{ \circ} С$. Это и есть ответ.
