Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12667
2020-01-15 
К источнику с напряжением $U = 10 В$ подключили последовательно соединенные катушку индуктивностью $L_{0} = 0,1 Гн$ и резистор сопротивлением $R = 10 Ом$. Через некоторое время ток в цепи установился. После этого начинают вдвигать и выдвигать сердечник катушки таким образом, чтобы индуктивность изменялась по закону $L = L_{0}(1 + 0,1 \sin \omega t)$. При этом в цепи появляется переменная составляющая тока. Найдите амплитуду этой составляющей на частоте $\omega = 1 рад/с$. Какой станет амплитуда, если вдвигать и выдвигать сердечник в 10 000 раз чаще?
Решение:
Для цепи, содержащей катушку индуктивностью $L$ и резистор сопротивлением $R$, время установления тока (его называют временем релаксации) равно $\tau = \frac{L}{R}$. При наших параметрах цепи это среднее время (индуктивность периодически изменяется) и $\tau \approx \frac{L_{0}}{R} \sim 10^{-2} с$.
В первом случае изменение индуктивности происходит с периодом $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega } = 6,28 с$. Это время гораздо больше $\tau$, и изменение индуктивности происходит так медленно, что при каждом ее значении ток в цепи успевает установиться. (Такие процессы называются квазистатическими, т. е. почти статическими.) Поэтому в первом приближении можно считать, что в нашем случае ток остается постоянным и равным (как в статическом режиме) $U/R$. На основании закона Ома, для нашей цепи можно записать
$I_{1} \frac{dL}{dt} + I_{1}R = U$.
После подстановки выражения для $L$ получаем, что
$I_{1} = \frac{U}{ R \left ( 1 + \frac{0,1L_{0} \omega }{R} \cos \omega t \right ) } \approx \frac{U}{R} \left ( 1 - \frac{0,1L_{0} \omega }{R} \cos \omega t \right )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m1} = \frac{ 0,1L_{0} \omega U}{R^{2} } = 10^{-3} A$.
Во втором случае период изменения индуктивности $T_{2} = \frac{2 \pi}{10^{4} \omega } = 6,28 \cdot 10^{-4} с \ll \tau$, и изменение индуктивности происходит так быстро, что в первом приближении можно считать магнитный поток, пронизывающий катушку, постоянным:
$\Phi = LI_{2} = L_{0}I_{0} = \frac{L_{0}U }{R} = const$.
Из этого условия следует, что
$I_{2} = \frac{I_{0}U }{LR} = \frac{L_{0}U }{L_{)} (1 + 0,1 \sin 10^{4} \omega t )R } \approx \frac{U}{R} (1 - 0,1 \sin 10^{4} \omega t )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m2} \approx \frac{0,1U}{R} = 0,1 А$.
Если в первом случае (низкие частоты) амплитуда переменной составляющей тока линейно растет с частотой изменения индуктивности, то при больших частотах она уже не зависит от частоты.
К источнику с напряжением $U = 10 В$ подключили последовательно соединенные катушку индуктивностью $L_{0} = 0,1 Гн$ и резистор сопротивлением $R = 10 Ом$. Через некоторое время ток в цепи установился. После этого начинают вдвигать и выдвигать сердечник катушки таким образом, чтобы индуктивность изменялась по закону $L = L_{0}(1 + 0,1 \sin \omega t)$. При этом в цепи появляется переменная составляющая тока. Найдите амплитуду этой составляющей на частоте $\omega = 1 рад/с$. Какой станет амплитуда, если вдвигать и выдвигать сердечник в 10 000 раз чаще?
Решение:
Для цепи, содержащей катушку индуктивностью $L$ и резистор сопротивлением $R$, время установления тока (его называют временем релаксации) равно $\tau = \frac{L}{R}$. При наших параметрах цепи это среднее время (индуктивность периодически изменяется) и $\tau \approx \frac{L_{0}}{R} \sim 10^{-2} с$.
В первом случае изменение индуктивности происходит с периодом $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega } = 6,28 с$. Это время гораздо больше $\tau$, и изменение индуктивности происходит так медленно, что при каждом ее значении ток в цепи успевает установиться. (Такие процессы называются квазистатическими, т. е. почти статическими.) Поэтому в первом приближении можно считать, что в нашем случае ток остается постоянным и равным (как в статическом режиме) $U/R$. На основании закона Ома, для нашей цепи можно записать
$I_{1} \frac{dL}{dt} + I_{1}R = U$.
После подстановки выражения для $L$ получаем, что
$I_{1} = \frac{U}{ R \left ( 1 + \frac{0,1L_{0} \omega }{R} \cos \omega t \right ) } \approx \frac{U}{R} \left ( 1 - \frac{0,1L_{0} \omega }{R} \cos \omega t \right )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m1} = \frac{ 0,1L_{0} \omega U}{R^{2} } = 10^{-3} A$.
Во втором случае период изменения индуктивности $T_{2} = \frac{2 \pi}{10^{4} \omega } = 6,28 \cdot 10^{-4} с \ll \tau$, и изменение индуктивности происходит так быстро, что в первом приближении можно считать магнитный поток, пронизывающий катушку, постоянным:
$\Phi = LI_{2} = L_{0}I_{0} = \frac{L_{0}U }{R} = const$.
Из этого условия следует, что
$I_{2} = \frac{I_{0}U }{LR} = \frac{L_{0}U }{L_{)} (1 + 0,1 \sin 10^{4} \omega t )R } \approx \frac{U}{R} (1 - 0,1 \sin 10^{4} \omega t )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m2} \approx \frac{0,1U}{R} = 0,1 А$.
Если в первом случае (низкие частоты) амплитуда переменной составляющей тока линейно растет с частотой изменения индуктивности, то при больших частотах она уже не зависит от частоты.
