Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12665
2020-01-15 
Клин массой $M$ с длиной наклонной грани $L$ и углом при основании а покоится на гладкой горизонтальной плоскости (рис.). К верхней точке клина прикреплен конец очень тонкой ленты, масса которой $m = \frac{M}{3}$, а длина $L$. Ленту заворачивают в клубок, после чего систему отпускают. Найдите максимальную скорость клина. Трением можно пренебречь.
Решение:
Решение этой задачи довольно громоздко.
Введем обозначения. Пусть в некоторый момент времени точка касания клубка поверхности клина находится на расстоянии $l$ от нижней точки (рис.) и $\frac{l}{L} = x$. Тогда масса остатка клубка равна $mx$, а масса размотавшейся ленты - неподвижной относительно клина - $m(1 - x)$. Обозначим скорость клина $u$, скорость центра клубка относительно клина $v$ (рис.),
Диаметр клубка в верхней точке клина не задан в условии задачи. Учет изменения этого диаметра и связанного с ним дополнительного понижения центра тяжести клубка сильно усложнил бы решение задачи. Будем считать, что диаметр клубка мал (т. е. лента имеет большую плотность) и пренебрежем его изменением.
Для решения воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Выразим уменьшение потенциальной энергии через $x$:
$\Delta E_{p} = mxg(L - l) \sin \alpha + \frac{1}{2} m (1 - x)g(L - l) \sin \alpha = \frac{1}{2} m (1 - x^{2} ) gL \sin \alpha$.
Теперь запишем закон сохранения импульса и выразим $v$ через $u$:
$Mu + m(1 - x)u - mx(v \cos \alpha - u) = 0 \Rightarrow v = \frac{u(M + m)}{mx \cos \alpha }$.
Для нахождения кинетической энергии системы учтем, что клубок, в отличие от клина и размотавшейся части ленты, движется не только поступательно, но еще и вращается. Угловая скорость определяется относительным движением клубка: $\omega = \frac{v}{r}$, где $r$ - его радиус. Считая клубок цилиндром, запишем "вращательную добавку" к кинетической энергии поступательного движения в виде
$E_{k \: вр} = \frac{1}{4} mxv^{2}$.
Тогда полная кинетическая энергия системы равна
$E_{k} = E_{k \: пост} + E_{k \: вр} = \frac{(M + m (1 - x)) u^{2} }{2} + \frac{mx( v^{2} + u^{2} -2 uv \cos \alpha ) }{2} + \frac{mxv^{2} }{4} = \frac{}{2} \left ( \frac{1,5 (M + m) }{m \cos^{2} \alpha } \frac{1}{x} - 1 \right )$.
Теперь запишем закон сохранения энергии и выразим скорость клина через $x$:
$\Delta E_{p} = E_{k} \Rightarrow u^{2} = \frac{mgD \sin \alpha }{M + m} \frac{1 - x^{2} }{ \frac{A}{x} - 1 }$,
где
$A = \frac{1,5(M + m)}{m \cos^{2} \alpha } = \frac{6}{ \cos^{2} \alpha }$.
Исследуем полученное выражение. Видно, что при $x \approx 1$ (в самом начале пути) и при $x \rightarrow 0$ (в конце) скорость клина обращается в ноль, значит, можно надеяться обнаружить значение $x_{m}$, при котором скорость клина максимальна. Для нахождения максимума приравняем нулю производную по $x$ и получим уравнение
$2x_{m}^{3} - 3Ax_{m}^{2} + A = 0$, или $3x_{m}^{2} - 1 = \frac{2}{A} x_{m}^{2}$.
В принципе кубическое уравнение можно решить аналитически, можно решить его приближенно - на ЭВМ или с помощью калькулятора, задавая различные углы $\alpha$. Но можно поступить и иначе: поскольку $A > 6$, при $x_{m} < 1$ (а это всегда выполняется) можно приближенно считать
$x_{m} \approx \frac{1}{ \sqrt{3} } \approx 0,58$.
(Численный расчет показывает, что при изменении $A$ от минимального значения 6 до весьма больших значений получается, что $x_{m}$ изменяется от 0,6 до 0,58.)
После несложных преобразований максимальную скорость $u_{m}$ можно выразить через $x_{m}$:
$u_{m}^{2} = \frac{4}{3} \left ( \frac{m}{M + m} \right )^{2} gL \cos^{2} \alpha \sin \alpha \cdot x_{m}^{3}$.
Этим выражением можно и ограничиться, а можно подставить в него значения $\frac{m}{M}$ и $x_{m}$. Численный расчет для $\alpha = 30^{ \circ}$ и $L = 0,1 м$, например, дает
$u_{m} \approx 0,08 м/с$.
Интересный вопрос возникает при анализе кинетической энергии - куда она пропадает после того, как весь клубок размотается? Подумайте об этом самостоятельно.
Подсказка: скорость клубка перед этим очень велика, и стоит рассмотреть движение самого конца ленты в момент окончания процесса.
Клин массой $M$ с длиной наклонной грани $L$ и углом при основании а покоится на гладкой горизонтальной плоскости (рис.). К верхней точке клина прикреплен конец очень тонкой ленты, масса которой $m = \frac{M}{3}$, а длина $L$. Ленту заворачивают в клубок, после чего систему отпускают. Найдите максимальную скорость клина. Трением можно пренебречь.
Решение:
Решение этой задачи довольно громоздко.
Введем обозначения. Пусть в некоторый момент времени точка касания клубка поверхности клина находится на расстоянии $l$ от нижней точки (рис.) и $\frac{l}{L} = x$. Тогда масса остатка клубка равна $mx$, а масса размотавшейся ленты - неподвижной относительно клина - $m(1 - x)$. Обозначим скорость клина $u$, скорость центра клубка относительно клина $v$ (рис.),
Диаметр клубка в верхней точке клина не задан в условии задачи. Учет изменения этого диаметра и связанного с ним дополнительного понижения центра тяжести клубка сильно усложнил бы решение задачи. Будем считать, что диаметр клубка мал (т. е. лента имеет большую плотность) и пренебрежем его изменением.
Для решения воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Выразим уменьшение потенциальной энергии через $x$:
$\Delta E_{p} = mxg(L - l) \sin \alpha + \frac{1}{2} m (1 - x)g(L - l) \sin \alpha = \frac{1}{2} m (1 - x^{2} ) gL \sin \alpha$.
Теперь запишем закон сохранения импульса и выразим $v$ через $u$:
$Mu + m(1 - x)u - mx(v \cos \alpha - u) = 0 \Rightarrow v = \frac{u(M + m)}{mx \cos \alpha }$.
Для нахождения кинетической энергии системы учтем, что клубок, в отличие от клина и размотавшейся части ленты, движется не только поступательно, но еще и вращается. Угловая скорость определяется относительным движением клубка: $\omega = \frac{v}{r}$, где $r$ - его радиус. Считая клубок цилиндром, запишем "вращательную добавку" к кинетической энергии поступательного движения в виде
$E_{k \: вр} = \frac{1}{4} mxv^{2}$.
Тогда полная кинетическая энергия системы равна
$E_{k} = E_{k \: пост} + E_{k \: вр} = \frac{(M + m (1 - x)) u^{2} }{2} + \frac{mx( v^{2} + u^{2} -2 uv \cos \alpha ) }{2} + \frac{mxv^{2} }{4} = \frac{}{2} \left ( \frac{1,5 (M + m) }{m \cos^{2} \alpha } \frac{1}{x} - 1 \right )$.
Теперь запишем закон сохранения энергии и выразим скорость клина через $x$:
$\Delta E_{p} = E_{k} \Rightarrow u^{2} = \frac{mgD \sin \alpha }{M + m} \frac{1 - x^{2} }{ \frac{A}{x} - 1 }$,
где
$A = \frac{1,5(M + m)}{m \cos^{2} \alpha } = \frac{6}{ \cos^{2} \alpha }$.
Исследуем полученное выражение. Видно, что при $x \approx 1$ (в самом начале пути) и при $x \rightarrow 0$ (в конце) скорость клина обращается в ноль, значит, можно надеяться обнаружить значение $x_{m}$, при котором скорость клина максимальна. Для нахождения максимума приравняем нулю производную по $x$ и получим уравнение
$2x_{m}^{3} - 3Ax_{m}^{2} + A = 0$, или $3x_{m}^{2} - 1 = \frac{2}{A} x_{m}^{2}$.
В принципе кубическое уравнение можно решить аналитически, можно решить его приближенно - на ЭВМ или с помощью калькулятора, задавая различные углы $\alpha$. Но можно поступить и иначе: поскольку $A > 6$, при $x_{m} < 1$ (а это всегда выполняется) можно приближенно считать
$x_{m} \approx \frac{1}{ \sqrt{3} } \approx 0,58$.
(Численный расчет показывает, что при изменении $A$ от минимального значения 6 до весьма больших значений получается, что $x_{m}$ изменяется от 0,6 до 0,58.)
После несложных преобразований максимальную скорость $u_{m}$ можно выразить через $x_{m}$:
$u_{m}^{2} = \frac{4}{3} \left ( \frac{m}{M + m} \right )^{2} gL \cos^{2} \alpha \sin \alpha \cdot x_{m}^{3}$.
Этим выражением можно и ограничиться, а можно подставить в него значения $\frac{m}{M}$ и $x_{m}$. Численный расчет для $\alpha = 30^{ \circ}$ и $L = 0,1 м$, например, дает
$u_{m} \approx 0,08 м/с$.
Интересный вопрос возникает при анализе кинетической энергии - куда она пропадает после того, как весь клубок размотается? Подумайте об этом самостоятельно.
Подсказка: скорость клубка перед этим очень велика, и стоит рассмотреть движение самого конца ленты в момент окончания процесса.
