Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12660
2020-01-15 
Тело немного сместили из положения неустойчивого равновесия, и оно поехало. При этом скорость удаления от начальной точки возрастает по закону $v(x) = A \sqrt{x}$, где $x$ - расстояние до начальной точки, $A$ - постоянный коэффициент. Через какое время тело окажется на расстоянии $L$?
Решение:
Обычно скорость задают как функцию времени $t$, а в нашем случае она задана как функция координаты $x$. Такой вид непривычен, но, может быть, это какое-то хорошо известное движение и получить ответ будет легко? Давайте попробуем.
Зададим очень малый промежуток времени $\Delta t$ и найдем ускорение $a$ тела:
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$.
Ясно, что первый множитель - это просто производная функции $v(x) = A \sqrt{x}$:
$\frac{ \Delta v}{ \Delta x} = \frac{1}{2} A \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{A}{2 \sqrt{x} }$.
Второй множитель - это скорость тела:
$\frac{ \Delta x}{ \Delta t} = v(x) = A \sqrt{x}$.
Таким образом.
$a = \frac{A}{2 \sqrt{x} } A \sqrt{x} = \frac{A^{2} }{2} = const$.
Это означает, что тело движется просто равноускоренно и окажется на расстоянии $L$ от положения равновесия через время
$t = \sqrt{ \frac{2L}{a} } = \sqrt{ \frac{2L}{ \frac{A^{2} }{2} }} = \frac{2}{A} \sqrt{L}$.
Тело немного сместили из положения неустойчивого равновесия, и оно поехало. При этом скорость удаления от начальной точки возрастает по закону $v(x) = A \sqrt{x}$, где $x$ - расстояние до начальной точки, $A$ - постоянный коэффициент. Через какое время тело окажется на расстоянии $L$?
Решение:
Обычно скорость задают как функцию времени $t$, а в нашем случае она задана как функция координаты $x$. Такой вид непривычен, но, может быть, это какое-то хорошо известное движение и получить ответ будет легко? Давайте попробуем.
Зададим очень малый промежуток времени $\Delta t$ и найдем ускорение $a$ тела:
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$.
Ясно, что первый множитель - это просто производная функции $v(x) = A \sqrt{x}$:
$\frac{ \Delta v}{ \Delta x} = \frac{1}{2} A \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{A}{2 \sqrt{x} }$.
Второй множитель - это скорость тела:
$\frac{ \Delta x}{ \Delta t} = v(x) = A \sqrt{x}$.
Таким образом.
$a = \frac{A}{2 \sqrt{x} } A \sqrt{x} = \frac{A^{2} }{2} = const$.
Это означает, что тело движется просто равноускоренно и окажется на расстоянии $L$ от положения равновесия через время
$t = \sqrt{ \frac{2L}{a} } = \sqrt{ \frac{2L}{ \frac{A^{2} }{2} }} = \frac{2}{A} \sqrt{L}$.
