Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1266
2016-10-20 
Имеется бесконечная сетка, составленная из одинаковых проволочек (см. рисунок). Известно, что сопротивление, измеренное между точками 1 и 2 этой сетки, равно $R$, а между точками 1 и 3 равно $r$ (на самом деле эти сопротивления связаны определённым образом, но не будем усложнять себе задачу!). Найдите сопротивление между точками 1 и 4, выразив его через $R$ и $r$.
Решение:
Во время измерений напряжение в очень далёких точках (узлах сетки) равно нулю. Поэтому, если мы соединим их хорошо проводящим проводом, то ничего не изменится. Назовём этот провод «бесконечность». Пусть во время измерений сопротивления напряжение между точками 1 и 2, измеренное идеальным вольтметром, равно $U$, а ток в измерительной цепи, содержащей источник питания и идеальный амперметр, равен $I$. Возьмём теперь два одинаковых источника тока, каждый из которых даёт фиксированный ток $I$. Первый источник подключим к точке 1 и «бесконечности» так, чтобы ток $I$ тёк по сетке от точки 1 к «бесконечности». Сейчас распределение тока по разным направлениям (по шести проводникам, подключённым к точке 1) равномерно. Второй источник подсоединим к точке 2 и «бесконечности» так, чтобы он снимал с точки 2 ток $I$, текущий к ней по сетке из «бесконечности». В силу линейности цепи ток в любой её точке теперь будет суммой токов этих двух источников, для каждого из которых распределение тока симметрично относительно точки, к которой он подключён. После этого можно убрать провод «бесконечность», поскольку сумма притекающих к нему и оттекающих от него токов равна нулю. Теперь мы видим, что получилась исходная схема.
Рассмотрим вначале случай, когда один источник подключён к точке 1 и «бесконечности». На рисунке показаны участки (пунктирные линии их пересекают), где ток не идёт из соображений симметрии. Очевидно, что $I_{12} = I_{23} + 2 I_{24}$, и $I = 6I_{12}$.
При измерении $R_{12} = R$ ток, текущий по проволочке 1-2, очевидно, будет равен $2I_{12}$, поскольку токи двух источников складываются. Напряжение между точками 1 и 2 будет равно $2r_{0}I_{12}$, где $r_{0}$ — сопротивление одной проволочки. Отсюда $R_{12} = R = 2r_{0}I_{12}/I = r_{0}/3$. При измерении $R_{12} = r$ напряжение между точками 1 и 3 будет равно $2r_{0}(I_{12} + I_{23})$, поскольку текущий по проволочкам 1-2 и 2-3 суммарный ток будет одинаков и равен $I_{12} + I_{23}$, а сопротивление
$R_{13} = r = 2r_{0}(I_{12} + I_{23})/I = R(1 + a)$,
где для $a = I_{23}/I_{12}$ из последнего уравнения получаем: $a = (r — R)/R$.
Аналогично получаем, что при измерении $R_{14}$ текущий по проволочкам 1-2 и 2-4 суммарный ток будет одинаков и равен $I_{12} + I_{24}$, напряжение между точками 1 и 4 будет равно $2r_{0}(I_{12} + I_{24})$, и сопротивление
$R_{14} = 2r_{0}(I_{12} + I_{24})/I = R(1 + b)$,
где для $b = I_{24}/I_{12}$ из этого уравнения получаем: $b = (R_{14} — R)/R$. Поскольку $I_{12} = I_{23} + 2I_{24}$, или $1 = a + 2b$, то, подставляя $a$ и $b$, выраженные через $R, r$ и $R_{14}$, в последнее уравнение, получаем:
$1 = \frac{r-R}{R} + 2 \frac{R_{14}-R}{R}$, откуда $R_{14} = 2R - \frac{r}{2}$.
Имеется бесконечная сетка, составленная из одинаковых проволочек (см. рисунок). Известно, что сопротивление, измеренное между точками 1 и 2 этой сетки, равно $R$, а между точками 1 и 3 равно $r$ (на самом деле эти сопротивления связаны определённым образом, но не будем усложнять себе задачу!). Найдите сопротивление между точками 1 и 4, выразив его через $R$ и $r$.
Решение:
Во время измерений напряжение в очень далёких точках (узлах сетки) равно нулю. Поэтому, если мы соединим их хорошо проводящим проводом, то ничего не изменится. Назовём этот провод «бесконечность». Пусть во время измерений сопротивления напряжение между точками 1 и 2, измеренное идеальным вольтметром, равно $U$, а ток в измерительной цепи, содержащей источник питания и идеальный амперметр, равен $I$. Возьмём теперь два одинаковых источника тока, каждый из которых даёт фиксированный ток $I$. Первый источник подключим к точке 1 и «бесконечности» так, чтобы ток $I$ тёк по сетке от точки 1 к «бесконечности». Сейчас распределение тока по разным направлениям (по шести проводникам, подключённым к точке 1) равномерно. Второй источник подсоединим к точке 2 и «бесконечности» так, чтобы он снимал с точки 2 ток $I$, текущий к ней по сетке из «бесконечности». В силу линейности цепи ток в любой её точке теперь будет суммой токов этих двух источников, для каждого из которых распределение тока симметрично относительно точки, к которой он подключён. После этого можно убрать провод «бесконечность», поскольку сумма притекающих к нему и оттекающих от него токов равна нулю. Теперь мы видим, что получилась исходная схема.
Рассмотрим вначале случай, когда один источник подключён к точке 1 и «бесконечности». На рисунке показаны участки (пунктирные линии их пересекают), где ток не идёт из соображений симметрии. Очевидно, что $I_{12} = I_{23} + 2 I_{24}$, и $I = 6I_{12}$.
При измерении $R_{12} = R$ ток, текущий по проволочке 1-2, очевидно, будет равен $2I_{12}$, поскольку токи двух источников складываются. Напряжение между точками 1 и 2 будет равно $2r_{0}I_{12}$, где $r_{0}$ — сопротивление одной проволочки. Отсюда $R_{12} = R = 2r_{0}I_{12}/I = r_{0}/3$. При измерении $R_{12} = r$ напряжение между точками 1 и 3 будет равно $2r_{0}(I_{12} + I_{23})$, поскольку текущий по проволочкам 1-2 и 2-3 суммарный ток будет одинаков и равен $I_{12} + I_{23}$, а сопротивление
$R_{13} = r = 2r_{0}(I_{12} + I_{23})/I = R(1 + a)$,
где для $a = I_{23}/I_{12}$ из последнего уравнения получаем: $a = (r — R)/R$.
Аналогично получаем, что при измерении $R_{14}$ текущий по проволочкам 1-2 и 2-4 суммарный ток будет одинаков и равен $I_{12} + I_{24}$, напряжение между точками 1 и 4 будет равно $2r_{0}(I_{12} + I_{24})$, и сопротивление
$R_{14} = 2r_{0}(I_{12} + I_{24})/I = R(1 + b)$,
где для $b = I_{24}/I_{12}$ из этого уравнения получаем: $b = (R_{14} — R)/R$. Поскольку $I_{12} = I_{23} + 2I_{24}$, или $1 = a + 2b$, то, подставляя $a$ и $b$, выраженные через $R, r$ и $R_{14}$, в последнее уравнение, получаем:
$1 = \frac{r-R}{R} + 2 \frac{R_{14}-R}{R}$, откуда $R_{14} = 2R - \frac{r}{2}$.
