Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12659
2020-01-15 
Космический корабль совершает перелет от Земли к Марсу по орбите Гоманна - Цандера (перигелий этой орбиты находится на орбите Земли, а афелий - на орбите Марса). Найдите время этого перелета, а также минимальное время, в течение которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по той же орбите. Период обращения Земли вокруг Солнца равен $T_{з} = 365,26$ суток, Марса - $T_{м} = 687$ суток. Орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.
Решение:
Большая полуось $a$ орбиты, по которой космический корабль совершает перелет, очевидно, будет равна полусумме радиусов орбит Земли и Марса (см. рисунок):
$a = \frac{a_{з} + a_{м}}{2}$.
По третьему закону Кеплера квадраты периодов обращения небесных тел вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит, т. е. $a_{з} \sim T_{з}^{2/3}$ и $a_{м} \sim T_{м}^{2/3}$. Аналогично связаны между собой большая полуось $a$ орбиты корабля и период его обращения $T : a \sim T^{2/3}$. Тогда получаем
$T^{2/3} = \frac{T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} }{2}$,
откуда
$T = \frac{T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} }{2^{3/2} }$.
Время перелета корабля $\tau$ от Земли до Марса равно половине периода обращения по орбите, следовательно,
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{ ( T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} )^{3/2} }{2^{5/2} } \approx 259$ сут.
Для вычисления времени, в течение которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по той же орбите, заметим, что в момент прилета Земля опережает Марс на угол
$\phi = \omega_{з} \tau - \pi = \frac{2 \pi \tau}{T_{з} } - \pi$,
где $\omega_{з}$ - угловая скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца. В момент же отправления в обратный путь Земля, очевидно, должна отставать от Марса на такой же угол $\phi$, или, другими словами, опережать на угол $2 \pi k - \phi$ ($k$ - целое число). В нашем случае минимальному времени ожидания соответствует $k = 1$. Тогда время, за которое угловое опережение Земли увеличится с $\phi$ до $2 \pi - \phi$, будет равно
$t = \frac{2 \pi - 2 \phi}{ \omega_{з} - \omega_{м} }$,
где $\omega_{з} - \omega_{м}$ - относительная угловая скорость движения Земли и Марса. Но
$\omega_{з} - \omega_{м} = \frac{2 \pi}{T_{з} } - \frac{2 \pi}{T_{м} }$,
поэтому окончательно
$t = \left ( 1 - \frac{ \phi}{ \pi} \right ) \left ( \frac{1}{T_{з}} - \frac{1}{T_{м}} \right ) = \frac{2 - \frac{2 \tau}{T_{з} } }{ \frac{1}{T_{з} } - \frac{1}{T_{м} } } \approx 457$ сут.
Космический корабль совершает перелет от Земли к Марсу по орбите Гоманна - Цандера (перигелий этой орбиты находится на орбите Земли, а афелий - на орбите Марса). Найдите время этого перелета, а также минимальное время, в течение которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по той же орбите. Период обращения Земли вокруг Солнца равен $T_{з} = 365,26$ суток, Марса - $T_{м} = 687$ суток. Орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.
Решение:
Большая полуось $a$ орбиты, по которой космический корабль совершает перелет, очевидно, будет равна полусумме радиусов орбит Земли и Марса (см. рисунок):
$a = \frac{a_{з} + a_{м}}{2}$.
По третьему закону Кеплера квадраты периодов обращения небесных тел вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит, т. е. $a_{з} \sim T_{з}^{2/3}$ и $a_{м} \sim T_{м}^{2/3}$. Аналогично связаны между собой большая полуось $a$ орбиты корабля и период его обращения $T : a \sim T^{2/3}$. Тогда получаем
$T^{2/3} = \frac{T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} }{2}$,
откуда
$T = \frac{T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} }{2^{3/2} }$.
Время перелета корабля $\tau$ от Земли до Марса равно половине периода обращения по орбите, следовательно,
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{ ( T_{з}^{2/3} + T_{м}^{2/3} )^{3/2} }{2^{5/2} } \approx 259$ сут.
Для вычисления времени, в течение которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по той же орбите, заметим, что в момент прилета Земля опережает Марс на угол
$\phi = \omega_{з} \tau - \pi = \frac{2 \pi \tau}{T_{з} } - \pi$,
где $\omega_{з}$ - угловая скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца. В момент же отправления в обратный путь Земля, очевидно, должна отставать от Марса на такой же угол $\phi$, или, другими словами, опережать на угол $2 \pi k - \phi$ ($k$ - целое число). В нашем случае минимальному времени ожидания соответствует $k = 1$. Тогда время, за которое угловое опережение Земли увеличится с $\phi$ до $2 \pi - \phi$, будет равно
$t = \frac{2 \pi - 2 \phi}{ \omega_{з} - \omega_{м} }$,
где $\omega_{з} - \omega_{м}$ - относительная угловая скорость движения Земли и Марса. Но
$\omega_{з} - \omega_{м} = \frac{2 \pi}{T_{з} } - \frac{2 \pi}{T_{м} }$,
поэтому окончательно
$t = \left ( 1 - \frac{ \phi}{ \pi} \right ) \left ( \frac{1}{T_{з}} - \frac{1}{T_{м}} \right ) = \frac{2 - \frac{2 \tau}{T_{з} } }{ \frac{1}{T_{з} } - \frac{1}{T_{м} } } \approx 457$ сут.
