Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12656
2020-01-15 
Стальную струну диаметром $d = 1 мм$ и длиной $l = 1 м$ натянули и закрепили ее концы на одной высоте. К середине струны прикрепили груз массой $M = 1 кг$. Найдите "провис" струны. Каким он станет, если уменьшить температуру на $\Delta T = 1 К$? Модуль Юнга для стали $E = 2 \cdot 10^{11} Н/м^{2}$, коэффициент линейного расширения $\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} К^{-1}$. Расстояние между точками подвеса не меняется.
Решение:
Зная размеры струны ($l = 1 м, S = \frac{ \pi d^{2}}{4} \approx 1 мм^{2}$) и плотность стали ($\rho = 7,8 г/см^{3}$), легко определить ее массу-она оказывается меньше 10 г. Тогда можно считать, что начальное натяжение струны пренебрежимо мало по сравнению с ее натяжением под действием груза. Из простых геометрических соображений, учитывая малость "провиса" $h$, получаем выражение для абсолютного удлинения струны (см. рисунок):
$\Delta l = 2 \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + h^{2}} - l\approx \frac{2h^{2} }{l}$.
Из условия равновесия груза находим силу натяжения струны:
$T = \frac{S E \Delta l}{l} =\frac{Mg}{2 \sin \phi} \approx \frac{Mgl}{4h}$.
Подставив сюда значение $\Delta l$, получим соотношение для определения $h$:
$\frac{SE}{l} \frac{2h^{2} }{l} = \frac{Mgl}{4h} \Rightarrow h^{3} = l^{3} \frac{Mg}{8ES} \Rightarrow h = \frac{l}{2} \sqrt[3]{ \frac{Mg}{ES} } = 0,02l = 2 см$.
Угол $\phi$ при этом составляет примерно 0,02 рад и сила натяжения $T \approx 600 Н$.
При охлаждении на 1 К относительное укорочение струны составит
$\frac{ \Delta l_{1}}{l} = 1,2 \cdot 10^{-5}$,
а сила натяжения струны без груза будет равна
$T_{1} = \frac{SE \Delta l_{1}}{l} \approx 2H$,
что намного меньше найденной силы при наличии груза. Значит, "провис" останется практически таким же.
Стальную струну диаметром $d = 1 мм$ и длиной $l = 1 м$ натянули и закрепили ее концы на одной высоте. К середине струны прикрепили груз массой $M = 1 кг$. Найдите "провис" струны. Каким он станет, если уменьшить температуру на $\Delta T = 1 К$? Модуль Юнга для стали $E = 2 \cdot 10^{11} Н/м^{2}$, коэффициент линейного расширения $\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} К^{-1}$. Расстояние между точками подвеса не меняется.
Решение:
Зная размеры струны ($l = 1 м, S = \frac{ \pi d^{2}}{4} \approx 1 мм^{2}$) и плотность стали ($\rho = 7,8 г/см^{3}$), легко определить ее массу-она оказывается меньше 10 г. Тогда можно считать, что начальное натяжение струны пренебрежимо мало по сравнению с ее натяжением под действием груза. Из простых геометрических соображений, учитывая малость "провиса" $h$, получаем выражение для абсолютного удлинения струны (см. рисунок):
$\Delta l = 2 \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + h^{2}} - l\approx \frac{2h^{2} }{l}$.
Из условия равновесия груза находим силу натяжения струны:
$T = \frac{S E \Delta l}{l} =\frac{Mg}{2 \sin \phi} \approx \frac{Mgl}{4h}$.
Подставив сюда значение $\Delta l$, получим соотношение для определения $h$:
$\frac{SE}{l} \frac{2h^{2} }{l} = \frac{Mgl}{4h} \Rightarrow h^{3} = l^{3} \frac{Mg}{8ES} \Rightarrow h = \frac{l}{2} \sqrt[3]{ \frac{Mg}{ES} } = 0,02l = 2 см$.
Угол $\phi$ при этом составляет примерно 0,02 рад и сила натяжения $T \approx 600 Н$.
При охлаждении на 1 К относительное укорочение струны составит
$\frac{ \Delta l_{1}}{l} = 1,2 \cdot 10^{-5}$,
а сила натяжения струны без груза будет равна
$T_{1} = \frac{SE \Delta l_{1}}{l} \approx 2H$,
что намного меньше найденной силы при наличии груза. Значит, "провис" останется практически таким же.
