Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12655
2020-01-15 
Велосипедное колесо, отпущенное с высоты $H = 1 м$ (рис.), подпрыгивает на высоту $h = 0,8 м$. Закрутим теперь колесо до скорости $n = 2 об/с$ и отпустим с той же высоты. Под каким углом к вертикали оно отскочит от пола? А если увеличить скорость вращения в 2 раза? Еще в 2 раза? Коэффициент трения о горизонтальную поверхность $\mu = 0,7$, радиус колеса $R = 0,5 м$.
Решение:
Обозначим скорость падения колеса непосредственно перед ударом о поверхность через $v$, а скорость сразу после отскока - через $u$. Изменение импульса колеса по вертикали связано с действием силы нормальной реакции опоры $N$ (рис.). По горизонтали на колесо действует сила трения $F_{тр}$ - она разгоняет центр масс колеса и уменьшает его угловую скорость. Необходимо исследование - прекратится ли проскальзывание нижней точки колеса относительно поверхности до окончания соударения или нет.
Найдем такие значение начальной угловой скорости вращения колеса $\omega_{0}$, при котором проскальзывание прекратится как раз к окончанию соударения, т. е. величина приобретенной горизонтальной скорости $V$ будет связана с окончательным значением угловой скорости $\omega$ соотношением $\omega R = V$. Для этого запишем следующие соотношения:
$\sum N_{i} \Delta t_{i} = M(v + u)$,
$\sum \mu N_{i} \Delta t_{i} = MV$,
$\sum R \mu N_{i} \Delta t_{i} = I( \omega_{0} - \omega )$,
где $M$ - масса колеса, $I = MR^{2}$ - его момент инерции; здесь учтено также, что до окончания проскальзывания $F_{тр} = \mu N$. Отсюда найдем "критическое" значение угловой скорости:
$\omega_{0} = 2 \mu \frac{v + u}{R} = 2 \mu \frac{ \sqrt{2gH} + \sqrt{2gh} }{R} \approx 23,7 рад/с$,
$n_{0} \approx 3,8 об/с$.
Видно, что при $n = 2 об/с$ проскальзывание успеет прекратиться (а при двух других значениях скорости вращения - нет). После прекращения проскальзывания сила трения обращается в ноль, и приобретенная горизонтальная скорость $V$ дальше не меняется. В этом случае угол отскока определяется соотношением
$tg \alpha_{1} = \frac{V}{ u} = \frac{ \mu (v + u)}{u} = \mu \left ( \frac{ \sqrt{H}}{h} + 1 \right ), \alpha_{1} \approx 56^{ \circ}$.
При $\omega > \omega_{0}$ угол отскока перестает зависеть от величины $\omega_{0}$:
$tg \alpha_{2} = \frac{2u}{ \omega R}, \alpha_{2} \approx 52^{ \circ}$.
Велосипедное колесо, отпущенное с высоты $H = 1 м$ (рис.), подпрыгивает на высоту $h = 0,8 м$. Закрутим теперь колесо до скорости $n = 2 об/с$ и отпустим с той же высоты. Под каким углом к вертикали оно отскочит от пола? А если увеличить скорость вращения в 2 раза? Еще в 2 раза? Коэффициент трения о горизонтальную поверхность $\mu = 0,7$, радиус колеса $R = 0,5 м$.
Решение:
Обозначим скорость падения колеса непосредственно перед ударом о поверхность через $v$, а скорость сразу после отскока - через $u$. Изменение импульса колеса по вертикали связано с действием силы нормальной реакции опоры $N$ (рис.). По горизонтали на колесо действует сила трения $F_{тр}$ - она разгоняет центр масс колеса и уменьшает его угловую скорость. Необходимо исследование - прекратится ли проскальзывание нижней точки колеса относительно поверхности до окончания соударения или нет.
Найдем такие значение начальной угловой скорости вращения колеса $\omega_{0}$, при котором проскальзывание прекратится как раз к окончанию соударения, т. е. величина приобретенной горизонтальной скорости $V$ будет связана с окончательным значением угловой скорости $\omega$ соотношением $\omega R = V$. Для этого запишем следующие соотношения:
$\sum N_{i} \Delta t_{i} = M(v + u)$,
$\sum \mu N_{i} \Delta t_{i} = MV$,
$\sum R \mu N_{i} \Delta t_{i} = I( \omega_{0} - \omega )$,
где $M$ - масса колеса, $I = MR^{2}$ - его момент инерции; здесь учтено также, что до окончания проскальзывания $F_{тр} = \mu N$. Отсюда найдем "критическое" значение угловой скорости:
$\omega_{0} = 2 \mu \frac{v + u}{R} = 2 \mu \frac{ \sqrt{2gH} + \sqrt{2gh} }{R} \approx 23,7 рад/с$,
$n_{0} \approx 3,8 об/с$.
Видно, что при $n = 2 об/с$ проскальзывание успеет прекратиться (а при двух других значениях скорости вращения - нет). После прекращения проскальзывания сила трения обращается в ноль, и приобретенная горизонтальная скорость $V$ дальше не меняется. В этом случае угол отскока определяется соотношением
$tg \alpha_{1} = \frac{V}{ u} = \frac{ \mu (v + u)}{u} = \mu \left ( \frac{ \sqrt{H}}{h} + 1 \right ), \alpha_{1} \approx 56^{ \circ}$.
При $\omega > \omega_{0}$ угол отскока перестает зависеть от величины $\omega_{0}$:
$tg \alpha_{2} = \frac{2u}{ \omega R}, \alpha_{2} \approx 52^{ \circ}$.
