Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12653
2020-01-15 
Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида $R = R_{0}(1- \alpha t)$. Когда терморезистор нагрет до температуры $t$, он рассеивает в окружающую среду мощность $P = B(t - t_{окр})$. Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением $U$?
Решение:
Пусть при напряжении $U$ ток через терморезистор доставит $I$. Тогда запишем
$R = \frac{U}{I} = R_{0}(1 - \alpha t)$,
$P = UI = B(t -t_{окр} )$.
Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру $t$:
$t = t_{окр} + \frac{UI}{B}$,
$\frac{U}{I} = R_{0} \left ( 1 - \alpha t_{окр} - \alpha \frac{UI}{B} \right )$,
$U = \frac{R_{0} (1 - \alpha t_{окр} ) }{ \frac{ \alpha R_{0}I }{B} + \frac{1}{I} }$.
При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением $R = R_{0} (1 - \alpha t_{окр})$. С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значению
$t_{кр} = \frac{1}{ \alpha}$.
Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения $U$? Сложность в том, что одному значению $U$ соответствуют два (либо - при больших напряжениях - ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение $U_{гр}$, выше которого решения нет,- оно соответствует минимальному значению знаменателя при токе $I = I_{кр}$:
$U_{гр} = U(I_{кр} ) = U \left ( \sqrt{ \frac{ \alpha R_{0} }{B} } \right ) = \frac{R_{0} (1 - \alpha t_{окр} ) }{ \sqrt{ \frac{B}{ \alpha R_{0} } } \left ( 1 + \left ( \frac{ \alpha R_{0} }{B } \right )^{2} \right ) }$.
Выше этого напряжения решений нет. Но все же - какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем $U_{гр}$? Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи - они становятся противоречивыми. Ясно, что "настоящий" терморезистор имеет другую - более сложную - зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при $t > t_{кр} = \frac{1}{ \alpha}$), b там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором - большем значении, если резистор заранее "подогреть". Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.
Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида $R = R_{0}(1- \alpha t)$. Когда терморезистор нагрет до температуры $t$, он рассеивает в окружающую среду мощность $P = B(t - t_{окр})$. Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением $U$?
Решение:
Пусть при напряжении $U$ ток через терморезистор доставит $I$. Тогда запишем
$R = \frac{U}{I} = R_{0}(1 - \alpha t)$,
$P = UI = B(t -t_{окр} )$.
Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру $t$:
$t = t_{окр} + \frac{UI}{B}$,
$\frac{U}{I} = R_{0} \left ( 1 - \alpha t_{окр} - \alpha \frac{UI}{B} \right )$,
$U = \frac{R_{0} (1 - \alpha t_{окр} ) }{ \frac{ \alpha R_{0}I }{B} + \frac{1}{I} }$.
При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением $R = R_{0} (1 - \alpha t_{окр})$. С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значению
$t_{кр} = \frac{1}{ \alpha}$.
Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения $U$? Сложность в том, что одному значению $U$ соответствуют два (либо - при больших напряжениях - ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение $U_{гр}$, выше которого решения нет,- оно соответствует минимальному значению знаменателя при токе $I = I_{кр}$:
$U_{гр} = U(I_{кр} ) = U \left ( \sqrt{ \frac{ \alpha R_{0} }{B} } \right ) = \frac{R_{0} (1 - \alpha t_{окр} ) }{ \sqrt{ \frac{B}{ \alpha R_{0} } } \left ( 1 + \left ( \frac{ \alpha R_{0} }{B } \right )^{2} \right ) }$.
Выше этого напряжения решений нет. Но все же - какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем $U_{гр}$? Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи - они становятся противоречивыми. Ясно, что "настоящий" терморезистор имеет другую - более сложную - зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при $t > t_{кр} = \frac{1}{ \alpha}$), b там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором - большем значении, если резистор заранее "подогреть". Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.
