Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12651
2020-01-15 
Модель дирижабля обдувают в аэродинамической трубе потоком воздуха со скоростью $v = 300 м/с$. В точке А (точно по оси) скорость потока обращается в нуль (см. рисунок). Найдите температуру воздуха около этой точки. Наружная температура равна $T = 300 К$.
Решение:
Обозначим температуру и давление воздуха вдали от модели $T_{1}$ ($T_{1} = T =300 К$) и $p_{1}$, а в интересующей нас точке - $T_{2}$ и $p_{2}$. В случае стационарного потока можно проследить за некоторой порцией газа - как она перемещается и что с ней происходит. Возьмем для определенности один моль воздуха (молярная масса воздуха $M = 29 г/моль$) и рассмотрим "трубу", в которую он входит вдали и из которой выходит около модели. Чтобы избежать чисто формальных трудностей, связанных с полной остановкой потока возле интересующей нас точки, будем считать эту скорость малой по сравнению с начальной (но не равной в точности нулю!).
Внешний воздух, "заталкивая" нашу порцию газа в "трубу" у входного отверстия, совершает над газом работу
$A_{1} = p_{1}V_{1}$,
где $V_{1}$ - объем одного моля воздуха при температуре $T_{1}$. Выходя из трубы, газ совершает работу, "расталкивая" окружающий воздух, т. е. над газом совершается отрицательная работа
$A_{2} = - p_{2}V_{2}$,
где $V_{2}$ - объем моля воздуха при температуре $T_{2}$.
Будем считать, что газ в "трубе" не обменивается теплом с окружающим воздухом. (Строго говоря, это не так, но разумно оценить такой теплообмен мы не сможем. Поэтому мы получим верхнюю границу для интересующего нас температурного эффекта.) Тогда изменение внутренней энергии нашей порции газа определяется работой внешних сил и изменением кинетической энергии движения этой порции как целого:
$A_{1} + A_{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \Delta U = C_{V}(T_{2} - T_{1}) = \frac{5}{2} R (T_{2} - T_{1})$
(воздух - двухатомный газ, поэтому для него молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_{V} = 5/2R$).
Используя уравнение состояния идеального газа для одного моля $pV = RT$, найдем
$A_{1} = p_{1} V_{1} = RT_{1}, A_{2} = - p_{2}V_{2} = - RT_{2}$.
Теперь можно записать:
$RT_{1} - RT_{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{5}{2} R(T_{2} - T_{1})$,
откуда
$T_{2} = T_{1} + \frac{Mv^{2} }{7R} \approx 345 К$.
Модель дирижабля обдувают в аэродинамической трубе потоком воздуха со скоростью $v = 300 м/с$. В точке А (точно по оси) скорость потока обращается в нуль (см. рисунок). Найдите температуру воздуха около этой точки. Наружная температура равна $T = 300 К$.
Решение:
Обозначим температуру и давление воздуха вдали от модели $T_{1}$ ($T_{1} = T =300 К$) и $p_{1}$, а в интересующей нас точке - $T_{2}$ и $p_{2}$. В случае стационарного потока можно проследить за некоторой порцией газа - как она перемещается и что с ней происходит. Возьмем для определенности один моль воздуха (молярная масса воздуха $M = 29 г/моль$) и рассмотрим "трубу", в которую он входит вдали и из которой выходит около модели. Чтобы избежать чисто формальных трудностей, связанных с полной остановкой потока возле интересующей нас точки, будем считать эту скорость малой по сравнению с начальной (но не равной в точности нулю!).
Внешний воздух, "заталкивая" нашу порцию газа в "трубу" у входного отверстия, совершает над газом работу
$A_{1} = p_{1}V_{1}$,
где $V_{1}$ - объем одного моля воздуха при температуре $T_{1}$. Выходя из трубы, газ совершает работу, "расталкивая" окружающий воздух, т. е. над газом совершается отрицательная работа
$A_{2} = - p_{2}V_{2}$,
где $V_{2}$ - объем моля воздуха при температуре $T_{2}$.
Будем считать, что газ в "трубе" не обменивается теплом с окружающим воздухом. (Строго говоря, это не так, но разумно оценить такой теплообмен мы не сможем. Поэтому мы получим верхнюю границу для интересующего нас температурного эффекта.) Тогда изменение внутренней энергии нашей порции газа определяется работой внешних сил и изменением кинетической энергии движения этой порции как целого:
$A_{1} + A_{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \Delta U = C_{V}(T_{2} - T_{1}) = \frac{5}{2} R (T_{2} - T_{1})$
(воздух - двухатомный газ, поэтому для него молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_{V} = 5/2R$).
Используя уравнение состояния идеального газа для одного моля $pV = RT$, найдем
$A_{1} = p_{1} V_{1} = RT_{1}, A_{2} = - p_{2}V_{2} = - RT_{2}$.
Теперь можно записать:
$RT_{1} - RT_{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{5}{2} R(T_{2} - T_{1})$,
откуда
$T_{2} = T_{1} + \frac{Mv^{2} }{7R} \approx 345 К$.
