ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-15   
Шмель может лететь вертикально вверх с максимальной скоростью $v_{1}$, а вниз - со скоростью $v_{2}$. Считая "силу тяги" шмеля не зависящей от направления полета, а силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости шмеля, определите максимальную скорость полета шмеля под углом $\alpha$ к горизонту.


Решение:


Запишем условия равномерного полета шмеля вверх:

$F - mg = F_{c1} = kv_{1}$

и вниз.

$F + mg = F_{c2} = kv_{2}$.

Отсюда можно выразить отдельно "силу тяги" $F$ и силу тяжести $mg$ через постоянный коэффициент $k$ и скорости:

$F = \frac{k}{2} (v_{1} + v_{2} ), mg = \frac{k}{2} (v_{2} - v_{1} )$.


Пусть искомая скорость шмеля равна $v$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту Тогда можно записать (см. рисунок):

$\vec{F} + m \vec{g} + \vec{F}_{c} = 0$,

или

$F^{2} = m^{2}g^{2} + F_{c}^{2} + 2mgF_{c} \sin \alpha$.

Поскольку $F_{c} = kv$, после простых преобразований получим

$v^{2} + (v_{2} - v_{1} ) \sin \alpha \cdot v - v_{1}v_{2} = 0$,

и

$v = \frac{ \sqrt{ (v_{2} - v_{1} )^{2} \sin^{2} \alpha + 4v_{1}v_{2} } - (v_{2} - v_{1} ) \sin \alpha }{2}$.