ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-10-20   
Найдите полное сопротивление $R_{ab}$ для каждой из цепей, изображённых на рисунке.



Решение:



рис.1

рис.2

рис.3

рис.4

рис.5
Начнём решение с рассмотрения цепи, изображённой на рисунке в условии слева. Разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ (см. рис. 1) и рассмотрим каждую вспомогательную цепь по отдельности.

Первая вспомогательная цепь представляет собой последовательность узлов, типа изображённых на рисунке 2. Если у этой цепи отбросить первый узел, то получится новая цепь, во всём подобная прежней (обе цепи бесконечные!), но состоящая из резисторов с вдвое меньшими номиналами. Её сопротивление будет равно $R_{1}/2$. Действительно, так как номиналы всех резисторов, из которых состоит цепь, пропорциональны $R$, то и полное сопротивление цепи пропорционально $R$. Значит, если номиналы всех резисторов уменьшатся вдвое, то и полное сопротивление также уменьшится вдвое. В итоге для первой вспомогательной цепи можно нарисовать эквивалентную схему (см. рис. 3), из которой следует уравнение:

$R_{1} = R + \frac{1}{ \frac{1}{R} + \frac{1}{R_{1}/2}}$,

откуда $R_{1} = \sqrt{2}R$.

Вторая вспомогательная цепь состоит из бесконечного числа параллельно соединённых резисторов, причем номинал каждого следующего резистора вдвое больше номинала
предыдущего. Учитывая это, для сопротивления $R_{2}$ имеем:

$R_{2} = \frac{1}{ \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} + \cdots} = \frac{R}{ \sum_{n=0}^{ \infty} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}}$.

Сумма, стоящая в знаменателе, представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. По известной формуле она равна

$\sum_{n=0}^{ \infty} q^{n} = \frac{1}{1-q}$.

С учётом этого $R_{2} = R/2$.

Этот же результат можно получить и способом, который применялся для нахождения сопротивления $R_{1}$. Отбросим у второй вспомогательной цепи первый резистор $R$. Тогда получится новая цепь, подобная прежней, но имеющая вдвое большее сопротивление. В итоге получаем эквивалентную схему, изображённую на рисунке 4, из которой следует уравнение:

$R_{2} = \frac{1}{ \frac{1}{R} + \frac{1}{2R_{2}}}$,

приводящее к прежнему результату для $R_{2}$.

Так как рассмотренные вспомогательные цепи соединены последовательно, окончательно для цепи, изображённой на рисунке в условии слева, имеем:

$R_{ab} = R_{1} + R_{2} = \left ( \frac{1}{2} + \sqrt{2} \right ) R$.

Теперь рассмотрим цепь, изображённую на рисунке в условии справа. Для решения задачи, аналогично предыдущему случаю, вновь разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{3}$ (см. рис. 5).

Сопротивление первой вспомогательной цепи $R_{1}$ было найдено при рассмотрении предыдущего случая. Сопротивление же второй вспомогательной цепи может быть найдено по формуле:

$R_{3} = \frac{1}{ \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{3R} + \cdots } = \frac{R}{ \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{1}{n}}$.

Знаменатель этой формулы представляет собой сумму так называемого гармонического ряда, который расходится. Таким образом, сумма в знаменателе равна бесконечности, поэтому $R_{3} = 0$. Учитывая это, для цепи, изображённой на рисунке в условии справа, окончательно получаем:

$R_{ab} = R_{1} + R_{3} = \sqrt{2}R$.