Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12649
2020-01-15 
Катушка равномерно намотана на кольце из феррита с магнитной проницаемостью $\mu = 3000$. Внешний диаметр кольца $D_{1} = 2 см$, внутренний $D_{2} = 1,6 см$. Индуктивность катушки $L = 0,1 Гн$. Какой была бы индуктивность катушки, если бы ее сердечник состоял из двух полуколец, прижатых друг к другу неплотно - с зазором шириной $d = 0,1 мм$ (см рисунок)? Во сколько раз изменилась бы эта индуктивность при замене материала полуколец на феррит с $\mu_{1} = 2000$?
Решение:
Решить эту задачу строго, не выходя сильно за пределы школьной программы, невозможно. Однако, если особой строгости не требуется, ничего сложного тут нет.
Бели магнитная проницаемость сердечника $\mu$ велика, то линии магнитной индукции, независимо от формы и длины сердечника, практически не рассеиваются. Это означает, что витки катушки можно наматывать равномерно по всему кольцу, а можно лишь на его половине - разницы не в величине поля, ни в индуктивности катушки не будет. Отсюда делаем вывод, что в нашем случае поле в сердечнике можно представить в виде $B \sim \frac{N}{l}$, где $N$ - число витков, а $l$ - так называемая средняя длина сердечника, или, как ее еще называют, средняя "длина силовых линий".
Ясно, что поле в зазоре между двумя полукольцами будет в $\mu$ раз меньше, чем в феррите. Следовательно, средняя длина линий магнитной индукции в атом случае получится больше:
$\frac{l^{ *} }{l} = \frac{l - 2d + \mu \cdot 2d}{l} \approx \frac{l + 2 \mu d}{l}$
(там, где сердечника нет, витков приходится наматывать больше - для "уравнивания" полей).
Итак, при том же токе через катушку после замены сердечника на два полукольца с зазором магнитное поле уменьшится во столько раз, во сколько возрастет средняя длина сердечника, и индуктивность катушки будет равна
$L^{*} = L \frac{l}{l + 2 \mu d} = \frac{L}{1 + \frac{2 \mu d}{ \frac{ \pi (D_{1} + D_{2} ) }{2} }} \approx \frac{L}{11,6} \approx 8,6 \cdot 10^{-3} Гн$.
Если сердечник имеет магнитную проницаемость $\mu_{1} = 2000$, то в случае целого кольца индуктивность составит
$L_{1} = \frac{2}{3} L \approx 6,7 \cdot 10^{-2} Гн$,
а при кольце с зазором -
$L_{1}^{*} = \frac{ \frac{2}{3} L}{1 + \frac{2 \mu_{1}d }{ \frac{ \pi (D_{1 } +D_{2} ) }{2} } } \approx 8,3 \cdot 10^{-3} Гн$.
Видно, что катушка "с зазором" намного менее чувствительна к изменению магнитной проницаемости сердечника. Это широко используется на практике, поскольку у материалов с большой величиной р она, как правило, сильно зависит от внешних условий - от температуры и индукции магнитного поля.
Катушка равномерно намотана на кольце из феррита с магнитной проницаемостью $\mu = 3000$. Внешний диаметр кольца $D_{1} = 2 см$, внутренний $D_{2} = 1,6 см$. Индуктивность катушки $L = 0,1 Гн$. Какой была бы индуктивность катушки, если бы ее сердечник состоял из двух полуколец, прижатых друг к другу неплотно - с зазором шириной $d = 0,1 мм$ (см рисунок)? Во сколько раз изменилась бы эта индуктивность при замене материала полуколец на феррит с $\mu_{1} = 2000$?
Решение:
Решить эту задачу строго, не выходя сильно за пределы школьной программы, невозможно. Однако, если особой строгости не требуется, ничего сложного тут нет.
Бели магнитная проницаемость сердечника $\mu$ велика, то линии магнитной индукции, независимо от формы и длины сердечника, практически не рассеиваются. Это означает, что витки катушки можно наматывать равномерно по всему кольцу, а можно лишь на его половине - разницы не в величине поля, ни в индуктивности катушки не будет. Отсюда делаем вывод, что в нашем случае поле в сердечнике можно представить в виде $B \sim \frac{N}{l}$, где $N$ - число витков, а $l$ - так называемая средняя длина сердечника, или, как ее еще называют, средняя "длина силовых линий".
Ясно, что поле в зазоре между двумя полукольцами будет в $\mu$ раз меньше, чем в феррите. Следовательно, средняя длина линий магнитной индукции в атом случае получится больше:
$\frac{l^{ *} }{l} = \frac{l - 2d + \mu \cdot 2d}{l} \approx \frac{l + 2 \mu d}{l}$
(там, где сердечника нет, витков приходится наматывать больше - для "уравнивания" полей).
Итак, при том же токе через катушку после замены сердечника на два полукольца с зазором магнитное поле уменьшится во столько раз, во сколько возрастет средняя длина сердечника, и индуктивность катушки будет равна
$L^{*} = L \frac{l}{l + 2 \mu d} = \frac{L}{1 + \frac{2 \mu d}{ \frac{ \pi (D_{1} + D_{2} ) }{2} }} \approx \frac{L}{11,6} \approx 8,6 \cdot 10^{-3} Гн$.
Если сердечник имеет магнитную проницаемость $\mu_{1} = 2000$, то в случае целого кольца индуктивность составит
$L_{1} = \frac{2}{3} L \approx 6,7 \cdot 10^{-2} Гн$,
а при кольце с зазором -
$L_{1}^{*} = \frac{ \frac{2}{3} L}{1 + \frac{2 \mu_{1}d }{ \frac{ \pi (D_{1 } +D_{2} ) }{2} } } \approx 8,3 \cdot 10^{-3} Гн$.
Видно, что катушка "с зазором" намного менее чувствительна к изменению магнитной проницаемости сердечника. Это широко используется на практике, поскольку у материалов с большой величиной р она, как правило, сильно зависит от внешних условий - от температуры и индукции магнитного поля.
