Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12645
2020-01-15 
Квант электромагнитного излучения испытывает рассеяние на покоящемся электроне (так называемый Комптон-эффект). При этом рассеянный квант изменяет частоту, а электрон получает импульс отдачи $p$. Определите, под какими углами по отношению к направлению падающего излучения может двигаться электрон с данным импульсом. Считайте, что скорость электрона существенно меньше, чем скорость света.
Решение:
Запишем для системы "квант - электрон" выражения закона сохранения энергии:
$h \nu_{0} = h \nu + \frac{p^{2} }{2m}$, (1)
где $\nu_{0}$ - частота кванта до рассеяния, $\nu$ - частота после рассеяния, $m$ - масса электрона, и импульса, точнее - его проекций на оси координат X и Y (см. рисунок):
$\frac{h \nu_{0} }{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \alpha + p \cos \phi$, (2)
$0 = \frac{h \nu}{c} \sin \alpha + p \sin \phi$, (3)
где $c$ - скорость света.
Исключим из уравнений (2) и (3) угол $\alpha$. Для этого возведем их в квадрат:
$\left ( \frac{h \nu_{0} }{c} - p \cos \phi \right )^{2} = \left ( \frac{h \nu}{c} \cos \alpha \right )^{2}$,
$(p \sin \phi)^{2} = \left ( \frac{ h \nu }{c} \sin \alpha \right )^{2}$.
и сложим:
$( h \nu_{0} )^{2} - 2pch \nu_{0} \cos \phi + (pc)^{2} = (h \nu)^{2}$. (4)
Возведем левую и правую части уравнения (1) в квадрат:
$(h \nu_{0} )^{2} = (h \nu )^{2} + 2 h \nu \frac{p^{2} }{2m} + \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right )^{2}$. (5)
Из уравнений (4) и (5) с учетом равенства $h \nu_{0} = h \nu + \frac{p^{2}}{2m}$ получаем
$h \nu = \frac{ \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right )^{2} - 2pc \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right ) \cos \phi + (pc)^{2} }{2 \left ( pc \cos \phi - \frac{p^{2} }{2m} \right ) }$.
Поскольку $h \nu$ всегда больше нуля, находим окончательно
$pc \cos \phi - \frac{p^{2} }{2m} > 0 \Rightarrow \cos \phi > \frac{p}{2mc}$.
Квант электромагнитного излучения испытывает рассеяние на покоящемся электроне (так называемый Комптон-эффект). При этом рассеянный квант изменяет частоту, а электрон получает импульс отдачи $p$. Определите, под какими углами по отношению к направлению падающего излучения может двигаться электрон с данным импульсом. Считайте, что скорость электрона существенно меньше, чем скорость света.
Решение:
Запишем для системы "квант - электрон" выражения закона сохранения энергии:
$h \nu_{0} = h \nu + \frac{p^{2} }{2m}$, (1)
где $\nu_{0}$ - частота кванта до рассеяния, $\nu$ - частота после рассеяния, $m$ - масса электрона, и импульса, точнее - его проекций на оси координат X и Y (см. рисунок):
$\frac{h \nu_{0} }{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \alpha + p \cos \phi$, (2)
$0 = \frac{h \nu}{c} \sin \alpha + p \sin \phi$, (3)
где $c$ - скорость света.
Исключим из уравнений (2) и (3) угол $\alpha$. Для этого возведем их в квадрат:
$\left ( \frac{h \nu_{0} }{c} - p \cos \phi \right )^{2} = \left ( \frac{h \nu}{c} \cos \alpha \right )^{2}$,
$(p \sin \phi)^{2} = \left ( \frac{ h \nu }{c} \sin \alpha \right )^{2}$.
и сложим:
$( h \nu_{0} )^{2} - 2pch \nu_{0} \cos \phi + (pc)^{2} = (h \nu)^{2}$. (4)
Возведем левую и правую части уравнения (1) в квадрат:
$(h \nu_{0} )^{2} = (h \nu )^{2} + 2 h \nu \frac{p^{2} }{2m} + \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right )^{2}$. (5)
Из уравнений (4) и (5) с учетом равенства $h \nu_{0} = h \nu + \frac{p^{2}}{2m}$ получаем
$h \nu = \frac{ \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right )^{2} - 2pc \left ( \frac{p^{2} }{2m} \right ) \cos \phi + (pc)^{2} }{2 \left ( pc \cos \phi - \frac{p^{2} }{2m} \right ) }$.
Поскольку $h \nu$ всегда больше нуля, находим окончательно
$pc \cos \phi - \frac{p^{2} }{2m} > 0 \Rightarrow \cos \phi > \frac{p}{2mc}$.
