Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1264
2016-10-20 
Резисторы $R, 2R, 3R, \cdots , 100R$ соединены последовательно. Концы этой цепи замыкают, после чего к точке их соединения подключают один из проводов, идущих от батарейки с ЭДС $\mathcal{E}$ и нулевым внутренним сопротивлением. Между какими резисторами $nR$ и $(n + 1)R$ нужно подключить второй провод, идущий от батарейки, чтобы ток через батарейку был наименьшим?
Решение:
Пусть второй провод, идущий от батарейки, подключён между резисторами $nR$ и $(n + 1)R$. Тогда схему, описанную в условии задачи, можно перерисовать в эквивалентном виде, показанном на рисунке, где
$\tilde{R} = R + 2R + \cdots + 100R = \frac{100 \cdot 101}{2} R$,
$r = R + 2R + \cdots + nR = \frac{n(n+1)}{2}R$.
Тогда сила тока, протекающего через батарейку, равна
$I = \frac{ \mathcal{E}}{r} + \frac{ \mathcal{E}}{ \tilde{R} - r} = \frac{ \mathcal{E} \tilde{R}}{r( \tilde{R} - r)}$.
Далее минимально возможное значение силы тока $I$ можно искать разными способами. Например, можно рассматривать знаменатель последнего выражения, как квадратный трёхчлен: $y(r) = -r^{2} + r \tilde{R}$. Функция $y(r)$ достигает максимума при $r = \tilde{R}/2$. Отсюда получаем условие на величину $n$:
$\frac{n(n+1)}{2} R = \frac{100 \cdot 101}{2 \cdot 2} R$,
которое сводится к квадратному уравнению
$n^{2} + n - 5050 = 0$.
Решая его, находим $n \approx 70,565$. Поскольку п может принимать только целые значения, то в качестве ответа следует принять наиболее близкое к 70,565 целое число, то есть $n = 71$.
Другой способ отыскания минимума выражения для тока, протекающего через батарейку, состоит в алгебраическом преобразовании знаменателя $y(r)$ к следующему виду:
$y(r) = r( \tilde{R} - r) = \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} + \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right ) \right ) \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} - \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right ) \right ) = \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} \right )^{2} - \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right )^{2}$.
Видно, что знаменатель можно представить в виде разности двух величин, одна из которых постоянная, а другая зависит от г. Понятно, что знаменатель достигает максимума (а сила тока минимума) тогда, когда второе слагаемое обращается в ноль, то есть при $r = \tilde{R}/2$. Дальнейший ход решения описан выше.
Резисторы $R, 2R, 3R, \cdots , 100R$ соединены последовательно. Концы этой цепи замыкают, после чего к точке их соединения подключают один из проводов, идущих от батарейки с ЭДС $\mathcal{E}$ и нулевым внутренним сопротивлением. Между какими резисторами $nR$ и $(n + 1)R$ нужно подключить второй провод, идущий от батарейки, чтобы ток через батарейку был наименьшим?
Решение:
Пусть второй провод, идущий от батарейки, подключён между резисторами $nR$ и $(n + 1)R$. Тогда схему, описанную в условии задачи, можно перерисовать в эквивалентном виде, показанном на рисунке, где
$\tilde{R} = R + 2R + \cdots + 100R = \frac{100 \cdot 101}{2} R$,
$r = R + 2R + \cdots + nR = \frac{n(n+1)}{2}R$.
Тогда сила тока, протекающего через батарейку, равна
$I = \frac{ \mathcal{E}}{r} + \frac{ \mathcal{E}}{ \tilde{R} - r} = \frac{ \mathcal{E} \tilde{R}}{r( \tilde{R} - r)}$.
Далее минимально возможное значение силы тока $I$ можно искать разными способами. Например, можно рассматривать знаменатель последнего выражения, как квадратный трёхчлен: $y(r) = -r^{2} + r \tilde{R}$. Функция $y(r)$ достигает максимума при $r = \tilde{R}/2$. Отсюда получаем условие на величину $n$:
$\frac{n(n+1)}{2} R = \frac{100 \cdot 101}{2 \cdot 2} R$,
которое сводится к квадратному уравнению
$n^{2} + n - 5050 = 0$.
Решая его, находим $n \approx 70,565$. Поскольку п может принимать только целые значения, то в качестве ответа следует принять наиболее близкое к 70,565 целое число, то есть $n = 71$.
Другой способ отыскания минимума выражения для тока, протекающего через батарейку, состоит в алгебраическом преобразовании знаменателя $y(r)$ к следующему виду:
$y(r) = r( \tilde{R} - r) = \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} + \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right ) \right ) \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} - \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right ) \right ) = \left ( \frac{ \tilde{R}}{2} \right )^{2} - \left ( r - \frac{ \tilde{R}}{2} \right )^{2}$.
Видно, что знаменатель можно представить в виде разности двух величин, одна из которых постоянная, а другая зависит от г. Понятно, что знаменатель достигает максимума (а сила тока минимума) тогда, когда второе слагаемое обращается в ноль, то есть при $r = \tilde{R}/2$. Дальнейший ход решения описан выше.
