Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12639
2020-01-15 
Известно, чти при внесении незаряженной проводящей сферы в однородное электрическое поле напряженностью $E_{0}$ напряженность поля вблизи точки А (рис.) оказывается равной $3E_{0}$, а вблизи точки Б - нулю. Определите напряженность поля вблизи точки В. Найдите полный заряд, индуцированный на полусфере БАБ. Радиус сферы $R$.
Решение:
Есть несколько способов решения этой задачи. Мы разберем здесь один из них.
Сначала найдем распределение зарядов на сфере. Обозначим поверхностную плотность зарядов вблизи точки А через $\sigma_{0}$ и будем искать угловую зависимость $\sigma( \alpha)$ в виде $\sigma( \alpha) = \sigma_{0} f( \alpha)$ (рис.). В силу симметрии функция $f( \alpha)$ четная, т. е. $f( \alpha ) = f( - \alpha )$. Воспользуемся принципом суперпозиции - представим поле $\vec{E}_{0}$ (рис.) в виде суммы двух однородных полей $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ ($E_{1} = E_{2}$). Выразим плотность зарядов., вблизи точки А через заряды, наведенные полями $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$:
$\sigma_{A} = \sigma_{0} = \sigma ( \vec{E}_{1} ) + \sigma ( \vec{E}_{2} ) = \sigma_{0} \frac{E_{1} }{E_{0} f( \alpha) } + \sigma_{0} \frac{E_{2} }{E_{0} } f( \alpha)$,
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что константа $\sigma_{0}$ в распределении $\sigma ( \alpha)$ пропорциональна внешнему полю:
$\frac{ \sigma_{0}( E_{0} )}{E_{0} } = \frac{ \sigma_{0}(E_{1} ) }{E_{1} } = \frac{\sigma_{0}(E_{2} ) }{E_{2} }$.
Но $E_{1} = E_{2} = \frac{E_{0}}{2 \cos \alpha}$, значит,
$f( \alpha) = \cos \alpha$.
Теперь найдем значение $\sigma_{0}$. Для этого рассмотрим небольшой заряженный участок на сфере, включающий точку А. Если подойти к нему совсем близко, то он превратится в знакомый объект - бесконечную заряженную плоскость, которая создает однородное поле напряженностью $\frac{ \sigma_{0}}{2 \epsilon_{0}}$, направленное в обе стороны от плоскости. Внутри сферы ноле равно нулю, снаружи в непосредственной близости от точки А оно равно $3E_{0}$. Переход через выделенный нами участок дает скачок поля $3E_{0}$, значит.
$\frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0} } - \left ( - \frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0} } \right ) = 2E_{0} \Rightarrow \sigma_{0} = 3 \epsilon_{0}E_{0}$.
Заметим, что плотность зарядов в точке В равна - $ \sigma_{0}$ (это видно из симметрии: впрочем, и из получен ной нами формулы для функции $f( \alpha)$ это тоже следует). Следовательно, поле около этой точки такое же, как и около точки А, только направлено оно не от сферы, а к ней. Итак, искомая напряженность поля
$\vec{E}_{B} = \vec{E}_{A} = 3 \vec{E}_{0}$,
Осталось найти полный заряд полусферы БАБ. Разобьем ее на тонкие кольца - одно из них выделено на рисунке. Заряд этого кольца равен
$\Delta Q = \sigma_{0} \cos \alpha \cdot \Delta S = \sigma_{0} \cos \alpha \cdot 2 \pi R \sin \alpha \cdot R \Delta \alpha$.
Подставляя сюда значение $\sigma_{0}$ и суммируя заряды (интеграл получается совсем простой, но, если вам не хочется его считать, попробуйте выразить площадь проекции этого кольца на плоскость, проходящую через центр сферы и перпендикулярную $\vec{E}_{0}$), получаем
$Q = 3 \pi \epsilon_{0} R^{2} E_{0}$.
Известно, чти при внесении незаряженной проводящей сферы в однородное электрическое поле напряженностью $E_{0}$ напряженность поля вблизи точки А (рис.) оказывается равной $3E_{0}$, а вблизи точки Б - нулю. Определите напряженность поля вблизи точки В. Найдите полный заряд, индуцированный на полусфере БАБ. Радиус сферы $R$.
Решение:
Есть несколько способов решения этой задачи. Мы разберем здесь один из них.
Сначала найдем распределение зарядов на сфере. Обозначим поверхностную плотность зарядов вблизи точки А через $\sigma_{0}$ и будем искать угловую зависимость $\sigma( \alpha)$ в виде $\sigma( \alpha) = \sigma_{0} f( \alpha)$ (рис.). В силу симметрии функция $f( \alpha)$ четная, т. е. $f( \alpha ) = f( - \alpha )$. Воспользуемся принципом суперпозиции - представим поле $\vec{E}_{0}$ (рис.) в виде суммы двух однородных полей $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ ($E_{1} = E_{2}$). Выразим плотность зарядов., вблизи точки А через заряды, наведенные полями $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$:
$\sigma_{A} = \sigma_{0} = \sigma ( \vec{E}_{1} ) + \sigma ( \vec{E}_{2} ) = \sigma_{0} \frac{E_{1} }{E_{0} f( \alpha) } + \sigma_{0} \frac{E_{2} }{E_{0} } f( \alpha)$,
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что константа $\sigma_{0}$ в распределении $\sigma ( \alpha)$ пропорциональна внешнему полю:
$\frac{ \sigma_{0}( E_{0} )}{E_{0} } = \frac{ \sigma_{0}(E_{1} ) }{E_{1} } = \frac{\sigma_{0}(E_{2} ) }{E_{2} }$.
Но $E_{1} = E_{2} = \frac{E_{0}}{2 \cos \alpha}$, значит,
$f( \alpha) = \cos \alpha$.
Теперь найдем значение $\sigma_{0}$. Для этого рассмотрим небольшой заряженный участок на сфере, включающий точку А. Если подойти к нему совсем близко, то он превратится в знакомый объект - бесконечную заряженную плоскость, которая создает однородное поле напряженностью $\frac{ \sigma_{0}}{2 \epsilon_{0}}$, направленное в обе стороны от плоскости. Внутри сферы ноле равно нулю, снаружи в непосредственной близости от точки А оно равно $3E_{0}$. Переход через выделенный нами участок дает скачок поля $3E_{0}$, значит.
$\frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0} } - \left ( - \frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0} } \right ) = 2E_{0} \Rightarrow \sigma_{0} = 3 \epsilon_{0}E_{0}$.
Заметим, что плотность зарядов в точке В равна - $ \sigma_{0}$ (это видно из симметрии: впрочем, и из получен ной нами формулы для функции $f( \alpha)$ это тоже следует). Следовательно, поле около этой точки такое же, как и около точки А, только направлено оно не от сферы, а к ней. Итак, искомая напряженность поля
$\vec{E}_{B} = \vec{E}_{A} = 3 \vec{E}_{0}$,
Осталось найти полный заряд полусферы БАБ. Разобьем ее на тонкие кольца - одно из них выделено на рисунке. Заряд этого кольца равен
$\Delta Q = \sigma_{0} \cos \alpha \cdot \Delta S = \sigma_{0} \cos \alpha \cdot 2 \pi R \sin \alpha \cdot R \Delta \alpha$.
Подставляя сюда значение $\sigma_{0}$ и суммируя заряды (интеграл получается совсем простой, но, если вам не хочется его считать, попробуйте выразить площадь проекции этого кольца на плоскость, проходящую через центр сферы и перпендикулярную $\vec{E}_{0}$), получаем
$Q = 3 \pi \epsilon_{0} R^{2} E_{0}$.
