Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12638
2020-01-15 
Черный шарик радиусом $r = 1 м$ подвешен на гонкой длинной нити длиной $l = 1 м$. Вся система помещена в вакуумированную стеклянную трубку с аргоном при давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Шарик освещают горизонтальным пучком света, плотность потока энергии в котором равна $w_{0} = 100 Дж/(м^{2} \cdot с)$. Оцените величину отклонения шарика от положения равновесия под действием света. Теплопроводностью шарика пренебречь. Учесть, что абсолютно черное тело, нагретое до абсолютной температуры $T$, излучает с единицы поверхности за единицу времени энергию, равную $\sigma T^{4}$, где $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$. Температура газа в трубке постоянна и равна $T_{0} = 293 К$. Молярная масса аргона $M = 0,04 кг/моль$, плотность шарика $\rho = 1 г/см^{3}$.
Решение:
Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает ее на некоторую величину $\Delta T ( \Delta T \ll T_{0})$. Шарик тепла не проводит, поэтому поступающая энергия идет, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом.
Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности, составляет
$W{1} = \sigma ( T_{0} + \Delta T)^{4} - \sigma T_{0}^{4} \approx 4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T$.
Если с единицей поверхности шарика за одну секунду сталкивается $N$ молекул газа и при каждом ударе отдается энергия $\Delta W$, то всего в окружающую среду отдается мощность
$W_{2} = N \Delta W$.
Пусть к поверхности шарика движется 1/6 часть всех молекул, имеющих одинаковые скорости $v = \sqrt{ \frac{3RT_{0} }{M} }$, а концентрация молекул в сосуде составляет $n = \frac{p_{0} }{ kT_{0} }$. Тогда (сделаем верхнюю оценку)
$\Delta W = \frac{3}{2} k( T_{0} + \Delta T) - \frac{3}{2} kT_{0} = \frac{3}{2} k \Delta T$,
$W_{2} = \frac{1}{6} nv \Delta W = \frac{1}{4} \frac{p_{0}v \Delta T }{T_{0} }$
и
$\frac{W_{2}}{W_{1} } = \frac{ \frac{1}{4} p_{0} \Delta T \frac{ \sqrt{ \frac{3RT_{0}}{M} }}{T_{0} }}{4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T } \approx 0,01$.
Таким образом, получаем, что можно пренебречь теплообменом с газом и считать, что вся поступающая энергия идет только на переизлучение. Поэтому
$\Delta T = \frac{W_{пост} }{4 \sigma T_{0}^{4} } = \frac{ w_{0} \pi r^{2} }{4 \sigma T_{0}^{3} } = 17,5 К$.
Давление газа на освещенную часть шарика больше, чем на неосвещенную, так как атомы при столкновении приобретают в среднем большую скорости, а значит, и уносят больший импульс:
$p = mkT_{эфф} = nk \frac{T_{0} + (T_{0} + \Delta T)}{2}$,
$\Delta p = p - p_{0} = nk \frac{ \Delta T}{2} = \frac{p_{0} \Delta T }{2T_{0} }$.
Сила давления, действующая на шарик, равна
$F = \Delta p \pi r^{2}$,
сила тяжести -
$mg = \frac{4}{3} \rho \pi r^{3}$,
отклонение шарика от положения равновесия -
$x = l \frac{F}{ \sqrt{m^{2}g^{2} + F^{2} } } \approx 0,2 мм$.
Черный шарик радиусом $r = 1 м$ подвешен на гонкой длинной нити длиной $l = 1 м$. Вся система помещена в вакуумированную стеклянную трубку с аргоном при давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Шарик освещают горизонтальным пучком света, плотность потока энергии в котором равна $w_{0} = 100 Дж/(м^{2} \cdot с)$. Оцените величину отклонения шарика от положения равновесия под действием света. Теплопроводностью шарика пренебречь. Учесть, что абсолютно черное тело, нагретое до абсолютной температуры $T$, излучает с единицы поверхности за единицу времени энергию, равную $\sigma T^{4}$, где $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$. Температура газа в трубке постоянна и равна $T_{0} = 293 К$. Молярная масса аргона $M = 0,04 кг/моль$, плотность шарика $\rho = 1 г/см^{3}$.
Решение:
Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает ее на некоторую величину $\Delta T ( \Delta T \ll T_{0})$. Шарик тепла не проводит, поэтому поступающая энергия идет, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом.
Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности, составляет
$W{1} = \sigma ( T_{0} + \Delta T)^{4} - \sigma T_{0}^{4} \approx 4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T$.
Если с единицей поверхности шарика за одну секунду сталкивается $N$ молекул газа и при каждом ударе отдается энергия $\Delta W$, то всего в окружающую среду отдается мощность
$W_{2} = N \Delta W$.
Пусть к поверхности шарика движется 1/6 часть всех молекул, имеющих одинаковые скорости $v = \sqrt{ \frac{3RT_{0} }{M} }$, а концентрация молекул в сосуде составляет $n = \frac{p_{0} }{ kT_{0} }$. Тогда (сделаем верхнюю оценку)
$\Delta W = \frac{3}{2} k( T_{0} + \Delta T) - \frac{3}{2} kT_{0} = \frac{3}{2} k \Delta T$,
$W_{2} = \frac{1}{6} nv \Delta W = \frac{1}{4} \frac{p_{0}v \Delta T }{T_{0} }$
и
$\frac{W_{2}}{W_{1} } = \frac{ \frac{1}{4} p_{0} \Delta T \frac{ \sqrt{ \frac{3RT_{0}}{M} }}{T_{0} }}{4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T } \approx 0,01$.
Таким образом, получаем, что можно пренебречь теплообменом с газом и считать, что вся поступающая энергия идет только на переизлучение. Поэтому
$\Delta T = \frac{W_{пост} }{4 \sigma T_{0}^{4} } = \frac{ w_{0} \pi r^{2} }{4 \sigma T_{0}^{3} } = 17,5 К$.
Давление газа на освещенную часть шарика больше, чем на неосвещенную, так как атомы при столкновении приобретают в среднем большую скорости, а значит, и уносят больший импульс:
$p = mkT_{эфф} = nk \frac{T_{0} + (T_{0} + \Delta T)}{2}$,
$\Delta p = p - p_{0} = nk \frac{ \Delta T}{2} = \frac{p_{0} \Delta T }{2T_{0} }$.
Сила давления, действующая на шарик, равна
$F = \Delta p \pi r^{2}$,
сила тяжести -
$mg = \frac{4}{3} \rho \pi r^{3}$,
отклонение шарика от положения равновесия -
$x = l \frac{F}{ \sqrt{m^{2}g^{2} + F^{2} } } \approx 0,2 мм$.
