Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1263
2016-10-20 
Оцените с точностью не хуже 1% силу тока, текущего через резистор $1000R$ в электрической цепи, изображённой на рисунке.
Решение:
рис.1
рис.2
Сопротивление резисторов $1000R$ и $2000R$ намного превышает сопротивление остальных резисторов. Поэтому в первом приближении токами, текущими через резисторы $1000R$ и $2000R$, можно пренебречь по сравнению с другими токами в цепи, то есть считать, что резисторов $1000R$ и $2000R$ в схеме просто нет. Тогда исходная схема сведётся к более простой (см. рис. 1).
Обозначим через $I_{1}$ ток, текущий в упрощённой схеме через резисторы $R, 3R$ и $5R$, а через $I_{2}$ — ток, текущий через резисторы $2R, 4R$ и $6R$. Тогда
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R+3R+5R} = \frac{ \mathcal{E}}{9R}; I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{2R+4R+6R} = \frac{ \mathcal{E}}{12R}$.
Для напряжения между точками схемы 1 и 2, а также между точками 1 и 3 (см. рис. 1) имеем:
$U_{12} = RI_{1} = \mathcal{E}/9; U_{13} = 2RI_{2} = \mathcal{E}/6$.
Значит, напряжение между точками схемы 2 и 3 равно
$U_{23} = U_{13} - U_{12} = \mathcal{E}/18$.
Из-за малости токов, текущих через резисторы $1000R$ и $2000R$, напряжение между точками 2 и 3 в упрощённой схеме практически совпадает с напряжением между этими же точками в исходной схеме. Значит, в качестве оценки для величины тока, текущего через резистор $1000R$, можно взять величину
$I_{1000R} = \frac{U_{23}}{1000R} = \frac{ \mathcal{E}}{18000R}$.
Величину погрешности нашего результата можно оценить следующим образом. Обозначим токи, текущие в исходной схеме через резисторы $R, 2R, 1000R$ и $2000R$ через $\tilde{I}_{1}$, $\tilde{I}_{2}, I_{a}$ и $I_{b}$ соответственно (см. рис. 2). Тогда, в соответствии с законом Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, имеем:
$\tilde{I}_{1} R_{1} + ( \tilde{I}_{1} + I_{1})R_{2} + ( \tilde{I}_{1} + I_{a} + I_{b})R_{3} = \mathcal{E}$,
где $R_{1} = R, R_{2} = 3R, R_{3} = 5R$. Отсюда
$\tilde{I}_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} - \frac{I_{1}(R_{2}+R_{3}) + I_{b}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} = I_{1} - \frac{I_{a}(R_{2}+R_{3}+I_{b}R_{3})}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}$.
Аналогично,
$\tilde{I}_{2} R_{4} + ( \tilde{I}_{2} - I_{a})R_{5} + ( \tilde{I}_{2} - I_{a}-I_{b}) R_{6} = \mathcal{E}$,
где $R_{4} = 2R, R_{5} = 4R, R_{6} = 6R$. Отсюда
$\tilde{I}_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} + \frac{I_{a}(R_{5} + R_{6}) + I_{b}R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} = I_{2} + \frac{I_{a}(R_{5}+R_{6}) + I_{b}R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}}$.
Таким образом, токи, рассчитанные приближённым способом, отличаются по абсолютной величине от токов, рассчитанных точно, на величины
$\Delta I_{1} = |I_{1} - \tilde{I}_{1}| \leq |I_{a}| \frac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} + |I_{b}| \frac{R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} < |I_{1}| + |I_{b}|$,
$\Delta I_{2} = |I_{2} - \tilde{I}_{2}| \leq |I_{a}| \frac{R_{5}+R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} + |I_{b}| \frac{R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} < |I_{1}| + |I_{b}|$,
то есть абсолютная погрешность каждого из токов $I_{1}$ и $I_{2}$ не превосходит сумму абсолютных величин токов $|I_{a}| + |I_{b}|$. Учитывая, что ток $I_{b}$
приближённо равен
$I_{b} = \frac{5RI_{1}-6RI_{2}}{2000R} = \frac{(5 \mathcal{E}/9) - ( \mathcal{E}/2)}{2000R} = \frac{ \mathcal{E}}{36000R}$,
а ток $I_{a} = I_{1000R}$ был оценён нами ранее, получим оценку для абсолютных погрешностей токов $I_{1}$ и $I_{2}$:
$\Delta I_{1,2} < \frac{ \mathcal{E}}{18000R} + \frac{ \mathcal{E}}{36000R} = \frac{ \mathcal{E}}{12000R}$.
Значит, абсолютная погрешность напряжения $U_{23}$ не превышает
$\Delta U_{23} < R \Delta I_{1} + 2R \Delta I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{4000R}$.
Так как сила тока, текущего через резистор $1000R$, пропорциональна $U_{23}$, то относительные погрешности определения этого тока и напряжения $U_{23}$ одинаковы и составляют
$\frac{ \Delta I_{1000R}}{I_{1000R}} = \frac{ \Delta U_{23}}{U_{23}} = \frac{18}{4000} = 0,045 = 0,45%$,
что удовлетворяет условию задачи.
В заключение отметим, что данную задачу можно решить точно. В этом случае после проведения всех необходимых вычислений получается ответ $I_{1000R} = \frac{ \mathcal{E}}{18055R}$, от которого наша оценка отличается примерно на 0,3%.
Оцените с точностью не хуже 1% силу тока, текущего через резистор $1000R$ в электрической цепи, изображённой на рисунке.
Решение:
рис.1
рис.2
Сопротивление резисторов $1000R$ и $2000R$ намного превышает сопротивление остальных резисторов. Поэтому в первом приближении токами, текущими через резисторы $1000R$ и $2000R$, можно пренебречь по сравнению с другими токами в цепи, то есть считать, что резисторов $1000R$ и $2000R$ в схеме просто нет. Тогда исходная схема сведётся к более простой (см. рис. 1).
Обозначим через $I_{1}$ ток, текущий в упрощённой схеме через резисторы $R, 3R$ и $5R$, а через $I_{2}$ — ток, текущий через резисторы $2R, 4R$ и $6R$. Тогда
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R+3R+5R} = \frac{ \mathcal{E}}{9R}; I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{2R+4R+6R} = \frac{ \mathcal{E}}{12R}$.
Для напряжения между точками схемы 1 и 2, а также между точками 1 и 3 (см. рис. 1) имеем:
$U_{12} = RI_{1} = \mathcal{E}/9; U_{13} = 2RI_{2} = \mathcal{E}/6$.
Значит, напряжение между точками схемы 2 и 3 равно
$U_{23} = U_{13} - U_{12} = \mathcal{E}/18$.
Из-за малости токов, текущих через резисторы $1000R$ и $2000R$, напряжение между точками 2 и 3 в упрощённой схеме практически совпадает с напряжением между этими же точками в исходной схеме. Значит, в качестве оценки для величины тока, текущего через резистор $1000R$, можно взять величину
$I_{1000R} = \frac{U_{23}}{1000R} = \frac{ \mathcal{E}}{18000R}$.
Величину погрешности нашего результата можно оценить следующим образом. Обозначим токи, текущие в исходной схеме через резисторы $R, 2R, 1000R$ и $2000R$ через $\tilde{I}_{1}$, $\tilde{I}_{2}, I_{a}$ и $I_{b}$ соответственно (см. рис. 2). Тогда, в соответствии с законом Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, имеем:
$\tilde{I}_{1} R_{1} + ( \tilde{I}_{1} + I_{1})R_{2} + ( \tilde{I}_{1} + I_{a} + I_{b})R_{3} = \mathcal{E}$,
где $R_{1} = R, R_{2} = 3R, R_{3} = 5R$. Отсюда
$\tilde{I}_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} - \frac{I_{1}(R_{2}+R_{3}) + I_{b}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} = I_{1} - \frac{I_{a}(R_{2}+R_{3}+I_{b}R_{3})}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}$.
Аналогично,
$\tilde{I}_{2} R_{4} + ( \tilde{I}_{2} - I_{a})R_{5} + ( \tilde{I}_{2} - I_{a}-I_{b}) R_{6} = \mathcal{E}$,
где $R_{4} = 2R, R_{5} = 4R, R_{6} = 6R$. Отсюда
$\tilde{I}_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} + \frac{I_{a}(R_{5} + R_{6}) + I_{b}R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} = I_{2} + \frac{I_{a}(R_{5}+R_{6}) + I_{b}R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}}$.
Таким образом, токи, рассчитанные приближённым способом, отличаются по абсолютной величине от токов, рассчитанных точно, на величины
$\Delta I_{1} = |I_{1} - \tilde{I}_{1}| \leq |I_{a}| \frac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} + |I_{b}| \frac{R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} < |I_{1}| + |I_{b}|$,
$\Delta I_{2} = |I_{2} - \tilde{I}_{2}| \leq |I_{a}| \frac{R_{5}+R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} + |I_{b}| \frac{R_{6}}{R_{4}+R_{5}+R_{6}} < |I_{1}| + |I_{b}|$,
то есть абсолютная погрешность каждого из токов $I_{1}$ и $I_{2}$ не превосходит сумму абсолютных величин токов $|I_{a}| + |I_{b}|$. Учитывая, что ток $I_{b}$
приближённо равен
$I_{b} = \frac{5RI_{1}-6RI_{2}}{2000R} = \frac{(5 \mathcal{E}/9) - ( \mathcal{E}/2)}{2000R} = \frac{ \mathcal{E}}{36000R}$,
а ток $I_{a} = I_{1000R}$ был оценён нами ранее, получим оценку для абсолютных погрешностей токов $I_{1}$ и $I_{2}$:
$\Delta I_{1,2} < \frac{ \mathcal{E}}{18000R} + \frac{ \mathcal{E}}{36000R} = \frac{ \mathcal{E}}{12000R}$.
Значит, абсолютная погрешность напряжения $U_{23}$ не превышает
$\Delta U_{23} < R \Delta I_{1} + 2R \Delta I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{4000R}$.
Так как сила тока, текущего через резистор $1000R$, пропорциональна $U_{23}$, то относительные погрешности определения этого тока и напряжения $U_{23}$ одинаковы и составляют
$\frac{ \Delta I_{1000R}}{I_{1000R}} = \frac{ \Delta U_{23}}{U_{23}} = \frac{18}{4000} = 0,045 = 0,45%$,
что удовлетворяет условию задачи.
В заключение отметим, что данную задачу можно решить точно. В этом случае после проведения всех необходимых вычислений получается ответ $I_{1000R} = \frac{ \mathcal{E}}{18055R}$, от которого наша оценка отличается примерно на 0,3%.
