Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12627
2020-01-15 
Из пяти одинаковых конденсаторов и катушки собрана схема, показанная на рисунке. Пай дите максимальный ток через катушку после подключения батарейки напряжением $U_{0}$. Найдите также максимальное напряжение на параллельно соединенных конденсаторах. Сопротивление проводов считать малым.
Решение:
Сразу после включения конденсаторы будут заряжаться от батарейки так, как если бы катушки вовсе не было - ток через нее вначале пренебрежимо мал. (Это справедливо при идеальной батарейке и проводах с очень малым сопротивлением. Попробуйте сами сделать оценку, по сравнению, с чем именно должно быть малым это сопротивление.)
Подсчитаем энергию получившейся (без катушки) системы конденсаторов:
$C_{1} = \frac{C}{2} + \frac{2C}{3} = \frac{7C}{6}, W_{1} = \frac{C_{1}U_{0}^{2}}{2} = \frac{7CU_{0}^{2}}{12}$.
Кстати сказать, в процессе быстрой зарядки будет выделяться тепло, но для нас это неважно - энергетический баланс мы будем рассчитывать начиная с того момента, когда выделение тепла уже закончится.
В тот момент, когда ток через катушку будет максимальным, ее ЭДС самоиндукции будет равна нулю. Тогда получается другое соединение конденсаторов - два левых соединены параллельно, а последовательно к ним подключены параллельно соединенные друг с другом три правых конденсатора. Энергия этой системы будет равна
$C_{2} = \frac{6C}{5}, W_{2} = \frac{3CU_{0}^{2}}{5}$.
Батарейка "протолкнула" по цепи дополнительный заряд
$q = C_{2}U_{0} - C_{1}U_{0} = \frac{CU_{0}}{30}$.
Работа батарейки при этом равна
$A = qU_{0} = \frac{CU_{0}^{2}}{30}$.
Теперь можно записать баланс энергий:
$W_{1} + A = W_{2} + \frac{LI_{m}^{2}}{2}$,
$\frac{LI_{m}^{2} }{2} = \frac{7CU_{0}^{2} }{12} - \frac{3CU_{0}^{2} }{5} + \frac{CU_{0}^{2} }{30} = \frac{CU_{0}^{2} }{60}$,
$I_{m} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{30L} }$.
Находить максимальное напряжение на соединенных параллельно конденсаторах "в лоб" довольно нудно - придется записывать несколько уравнений для зарядов, которые оказались на конденсаторах (с учетом того, что некоторый заряд протек по катушке), и еще уравнение баланса энергии; проще сообразить, что искомое напряжение меняется по гармоническому закону относительно некоторого среднего значения, которое соответствует нулевому току через катушку. При нулевом токе это напряжение равно (как и вначале) $U_{0}/З$, при максимальном токе через катушку оно составляет $2I_{0}/5$, т. е. оно увеличилось на $U_{0}/15$. Это означает, что за следующую четверть периода, когда ток катушки уменьшится от максимального значения до нуля, напряжение увеличится еще на столько же и составит $7U_{0}/15$.
Из пяти одинаковых конденсаторов и катушки собрана схема, показанная на рисунке. Пай дите максимальный ток через катушку после подключения батарейки напряжением $U_{0}$. Найдите также максимальное напряжение на параллельно соединенных конденсаторах. Сопротивление проводов считать малым.
Решение:
Сразу после включения конденсаторы будут заряжаться от батарейки так, как если бы катушки вовсе не было - ток через нее вначале пренебрежимо мал. (Это справедливо при идеальной батарейке и проводах с очень малым сопротивлением. Попробуйте сами сделать оценку, по сравнению, с чем именно должно быть малым это сопротивление.)
Подсчитаем энергию получившейся (без катушки) системы конденсаторов:
$C_{1} = \frac{C}{2} + \frac{2C}{3} = \frac{7C}{6}, W_{1} = \frac{C_{1}U_{0}^{2}}{2} = \frac{7CU_{0}^{2}}{12}$.
Кстати сказать, в процессе быстрой зарядки будет выделяться тепло, но для нас это неважно - энергетический баланс мы будем рассчитывать начиная с того момента, когда выделение тепла уже закончится.
В тот момент, когда ток через катушку будет максимальным, ее ЭДС самоиндукции будет равна нулю. Тогда получается другое соединение конденсаторов - два левых соединены параллельно, а последовательно к ним подключены параллельно соединенные друг с другом три правых конденсатора. Энергия этой системы будет равна
$C_{2} = \frac{6C}{5}, W_{2} = \frac{3CU_{0}^{2}}{5}$.
Батарейка "протолкнула" по цепи дополнительный заряд
$q = C_{2}U_{0} - C_{1}U_{0} = \frac{CU_{0}}{30}$.
Работа батарейки при этом равна
$A = qU_{0} = \frac{CU_{0}^{2}}{30}$.
Теперь можно записать баланс энергий:
$W_{1} + A = W_{2} + \frac{LI_{m}^{2}}{2}$,
$\frac{LI_{m}^{2} }{2} = \frac{7CU_{0}^{2} }{12} - \frac{3CU_{0}^{2} }{5} + \frac{CU_{0}^{2} }{30} = \frac{CU_{0}^{2} }{60}$,
$I_{m} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{30L} }$.
Находить максимальное напряжение на соединенных параллельно конденсаторах "в лоб" довольно нудно - придется записывать несколько уравнений для зарядов, которые оказались на конденсаторах (с учетом того, что некоторый заряд протек по катушке), и еще уравнение баланса энергии; проще сообразить, что искомое напряжение меняется по гармоническому закону относительно некоторого среднего значения, которое соответствует нулевому току через катушку. При нулевом токе это напряжение равно (как и вначале) $U_{0}/З$, при максимальном токе через катушку оно составляет $2I_{0}/5$, т. е. оно увеличилось на $U_{0}/15$. Это означает, что за следующую четверть периода, когда ток катушки уменьшится от максимального значения до нуля, напряжение увеличится еще на столько же и составит $7U_{0}/15$.
