Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12622
2020-01-15 
Точечную частицу, имеющую массу $m$ и заряд $Q$, помещают на расстоянии $L$ от бесконечной проводящей плоскости и отпускают. За какое время частица долетит до плоскости? Сила тяжести отсутствует. (Подсказка: можно воспользоваться методом зеркальных отображений.)
Решение:
При помещении заряженной частицы у проводящей плоскости на этой плоскости наводятся заряды, притягивающие частицу. Их действие эквивалентно действию заряда-изображения, равного по величине - $Q$ и расположенного на таком же расстоянии от плоскости, но по другую ее сторону (см. рисунок). Сила, действующая на частицу, удаленную на расстояние $x$ от плоскости, находится из закона Кулона:
$F = \frac{kQ^{2} }{(2x)^{2} } = \frac{kQ^{2} }{4x^{2} }$.
Представим себе, что такая же сила действует на нашу частицу, испытывающую не электрическое, а гравитационное взаимодействие с точечной массой $M$, помещенной в точке О. Эта масса должна быть равна
$M = \frac{Fx^{2} }{GM} = \frac{kQ^{2} }{4mG}$.
Теперь движение частицы можно описать, используя законы Кеплера.
Траекторию частицы можно считать очень вытянутым эллипсом, имеющим большую полуось $a = L/2$ и малую полуось $b \ll a$ (при этом фокусы эллипса находятся в точке О и в точке первоначального положения частицы). Заменим эллиптическую орбиту круговой с радиусом $L$ и найдем период обращения $T_{0}$ частицы вокруг массы $M$:
$m \frac{4 \pi^{2} }{T_{0}^{2} } L = G \frac{mM}{L^{2} } \Rightarrow T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L^{3} }{GM} }$.
Для нахождения периода $T$ в случае эллипса с полуосью $a = L/2$ применим третий закон Кеплера:
$T = T_{0} \left ( \frac{a}{a_{0} } \right )^{3/2} = T_{0} \left ( \frac{L/2}{L} \right )^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2} } T_{0}$.
Очевидно, что время, за которое частица долетит до плоскости, равно половине периода обращения:
$t = \frac{1}{2} T = \frac{1}{4 \sqrt{2} } T_{0} = \frac{ \pi}{2 \sqrt{2} } \sqrt{ \frac{L^{3} }{GM} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} } \frac{L}{Q} \sqrt{ \frac{Lm}{k} }$.
Точечную частицу, имеющую массу $m$ и заряд $Q$, помещают на расстоянии $L$ от бесконечной проводящей плоскости и отпускают. За какое время частица долетит до плоскости? Сила тяжести отсутствует. (Подсказка: можно воспользоваться методом зеркальных отображений.)
Решение:
При помещении заряженной частицы у проводящей плоскости на этой плоскости наводятся заряды, притягивающие частицу. Их действие эквивалентно действию заряда-изображения, равного по величине - $Q$ и расположенного на таком же расстоянии от плоскости, но по другую ее сторону (см. рисунок). Сила, действующая на частицу, удаленную на расстояние $x$ от плоскости, находится из закона Кулона:
$F = \frac{kQ^{2} }{(2x)^{2} } = \frac{kQ^{2} }{4x^{2} }$.
Представим себе, что такая же сила действует на нашу частицу, испытывающую не электрическое, а гравитационное взаимодействие с точечной массой $M$, помещенной в точке О. Эта масса должна быть равна
$M = \frac{Fx^{2} }{GM} = \frac{kQ^{2} }{4mG}$.
Теперь движение частицы можно описать, используя законы Кеплера.
Траекторию частицы можно считать очень вытянутым эллипсом, имеющим большую полуось $a = L/2$ и малую полуось $b \ll a$ (при этом фокусы эллипса находятся в точке О и в точке первоначального положения частицы). Заменим эллиптическую орбиту круговой с радиусом $L$ и найдем период обращения $T_{0}$ частицы вокруг массы $M$:
$m \frac{4 \pi^{2} }{T_{0}^{2} } L = G \frac{mM}{L^{2} } \Rightarrow T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L^{3} }{GM} }$.
Для нахождения периода $T$ в случае эллипса с полуосью $a = L/2$ применим третий закон Кеплера:
$T = T_{0} \left ( \frac{a}{a_{0} } \right )^{3/2} = T_{0} \left ( \frac{L/2}{L} \right )^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2} } T_{0}$.
Очевидно, что время, за которое частица долетит до плоскости, равно половине периода обращения:
$t = \frac{1}{2} T = \frac{1}{4 \sqrt{2} } T_{0} = \frac{ \pi}{2 \sqrt{2} } \sqrt{ \frac{L^{3} }{GM} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} } \frac{L}{Q} \sqrt{ \frac{Lm}{k} }$.
