Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12604
2020-01-15 
Период свободных колебаний груза, висящего на пружине, оказался равным $T_{0}$. Груз с пружиной расположили на шероховатой горизонтальной поверхности (рис.) и, смещая груз влево и вправо, измерили ширину области, внутри которой груз может находиться в равновесии под действием силы трения и силы упругости пружины (так называемой зоны застоя), - она оказалась равной $2a$. В следующем опыте груз сместили из зоны застоя на расстояние, существенно превышающее $a$, и наблюдали колебания груза. Каким окажется период колебаний?
Теперь поставим опыт иначе. Всякий раз, когда груз при колебаниях оказывается в крайнем левом положении, по грузу стукают молоточком (рис.), и скорость груза становится равной $v_{0}$. Какова будет амплитуда установившихся колебаний груза?
Предполагая, что амплитуда установившихся колебаний значительно больше ширины зоны застоя, определить, насколько период установившихся колебаний отличается от периода свободных колебаний $T_{0}$.
Решение:
При движении влево и вправо груз находится под действием дополнительной (по сравнению с колебаниями груза, висящего на пружине) постоянной по величине силы - силы трения. В этих условиях меняется только "положение равновесия" (рис.), а период колебаний остается прежним, т. е. равным $T_{0}$.
Теперь обсудим случай, когда при колебаниях груза но нему регулярно ударяют молоточком. На рисунке представлен график зависимости смещения $x$ груза от времени $t$ (из условия задачи очевидно, что изменение $\Delta T$ периода установившихся колебаний достаточно мало по сравнению с самим периодом $T_{0}$). Как видно из графика, отклонения груза в обе стороны одинаковы относительно точки с координатой $+a$, $A$ - искомая амплитуда колебаний. По закону сохранения анергии,
$4A \mu mg = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$,
причем
$\mu mg = ka$,
где $\mu$ - коэффициент трения, $k$ - жесткость пружины. Отсюда получаем (учитывая, что $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$)
$\mu g = \frac{k}{m} a = \frac{4 \pi^{2} }{T_{0}^{2} } a$.
Окончательно
$A = \frac{v_{0}^{2} }{8 \mu g} = \frac{v_{0}^{2}T_{0}^{2} }{32 \pi^{2} a }$.
Рассмотрим участок графика MNK (см. рис.). Движение здесь происходит по закону
$x = - a - (A + 2a) \cos \omega_{0} t$, где $\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0}} = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Скорость груза
$v = x^{ \prime} = (A + 2a) \omega_{0} \sin \omega_{0}t$.
В установившемся режиме участок MN отсутствует. Скорость в точке N равна начальной скорости $v_{0}$ после удара молоточком:
$v_{0} = (A + 2a) \omega_{0} \sin \omega_{0} \Delta T \approx A \omega_{0}^{2} \Delta T$,
откуда
$\Delta T \approx \frac{v_{0} }{A \omega_{0}^{2} } = \frac{32 \pi^{2} a }{v_{0}^{2}T_{0}^{2} } \frac{v_{0}T_{0}^{2} }{4 \pi^{2} } = \frac{8a}{v_{0} }$.
О приближенном решении. Условие $A \gg 2a$ означает
$\frac{v_{0}^{2}T_{0}^{2} }{32 \pi^{2}a } \gg 2a$,
откуда
$v_{0}T_{0} \gg 8 \pi a$. (*)
Условие $\Delta T \ll T_{0}$ означает
$\frac{A \omega_{0}^{2} }{v_{0} } \ll T_{0}$, или $v_{0}T_{0} \gg 16 \pi a$. (**)
Выражения (*) и (**) практически совпадают. Значит, принятое приближение оправдано.
Период свободных колебаний груза, висящего на пружине, оказался равным $T_{0}$. Груз с пружиной расположили на шероховатой горизонтальной поверхности (рис.) и, смещая груз влево и вправо, измерили ширину области, внутри которой груз может находиться в равновесии под действием силы трения и силы упругости пружины (так называемой зоны застоя), - она оказалась равной $2a$. В следующем опыте груз сместили из зоны застоя на расстояние, существенно превышающее $a$, и наблюдали колебания груза. Каким окажется период колебаний?
Теперь поставим опыт иначе. Всякий раз, когда груз при колебаниях оказывается в крайнем левом положении, по грузу стукают молоточком (рис.), и скорость груза становится равной $v_{0}$. Какова будет амплитуда установившихся колебаний груза?
Предполагая, что амплитуда установившихся колебаний значительно больше ширины зоны застоя, определить, насколько период установившихся колебаний отличается от периода свободных колебаний $T_{0}$.
Решение:
При движении влево и вправо груз находится под действием дополнительной (по сравнению с колебаниями груза, висящего на пружине) постоянной по величине силы - силы трения. В этих условиях меняется только "положение равновесия" (рис.), а период колебаний остается прежним, т. е. равным $T_{0}$.
Теперь обсудим случай, когда при колебаниях груза но нему регулярно ударяют молоточком. На рисунке представлен график зависимости смещения $x$ груза от времени $t$ (из условия задачи очевидно, что изменение $\Delta T$ периода установившихся колебаний достаточно мало по сравнению с самим периодом $T_{0}$). Как видно из графика, отклонения груза в обе стороны одинаковы относительно точки с координатой $+a$, $A$ - искомая амплитуда колебаний. По закону сохранения анергии,
$4A \mu mg = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$,
причем
$\mu mg = ka$,
где $\mu$ - коэффициент трения, $k$ - жесткость пружины. Отсюда получаем (учитывая, что $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$)
$\mu g = \frac{k}{m} a = \frac{4 \pi^{2} }{T_{0}^{2} } a$.
Окончательно
$A = \frac{v_{0}^{2} }{8 \mu g} = \frac{v_{0}^{2}T_{0}^{2} }{32 \pi^{2} a }$.
Рассмотрим участок графика MNK (см. рис.). Движение здесь происходит по закону
$x = - a - (A + 2a) \cos \omega_{0} t$, где $\omega_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0}} = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Скорость груза
$v = x^{ \prime} = (A + 2a) \omega_{0} \sin \omega_{0}t$.
В установившемся режиме участок MN отсутствует. Скорость в точке N равна начальной скорости $v_{0}$ после удара молоточком:
$v_{0} = (A + 2a) \omega_{0} \sin \omega_{0} \Delta T \approx A \omega_{0}^{2} \Delta T$,
откуда
$\Delta T \approx \frac{v_{0} }{A \omega_{0}^{2} } = \frac{32 \pi^{2} a }{v_{0}^{2}T_{0}^{2} } \frac{v_{0}T_{0}^{2} }{4 \pi^{2} } = \frac{8a}{v_{0} }$.
О приближенном решении. Условие $A \gg 2a$ означает
$\frac{v_{0}^{2}T_{0}^{2} }{32 \pi^{2}a } \gg 2a$,
откуда
$v_{0}T_{0} \gg 8 \pi a$. (*)
Условие $\Delta T \ll T_{0}$ означает
$\frac{A \omega_{0}^{2} }{v_{0} } \ll T_{0}$, или $v_{0}T_{0} \gg 16 \pi a$. (**)
Выражения (*) и (**) практически совпадают. Значит, принятое приближение оправдано.
