Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1260
2016-10-20 
Электрическая цепь, изображённая на левом рисунке, состоит из источника постоянного напряжения $U = 3 В$, миллиамперметра с очень маленьким внутренним сопротивлением, четырёх постоянных резисторов и одного переменного. На правом рисунке приведён график зависимости показаний миллиамперметра от величины сопротивления переменного резистора $R$. Найдите величины сопротивлений постоянных резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть сопротивление переменного резистора $R = 0$. Тогда схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 1. Полное сопротивление такой цепи равно $r_{1} = 2R_{1}R_{2}/(R_{1} + R_{2})$, а текущий через миллиамперметр ток равен
$I_{1} = \frac{U}{r_{1}} = \frac{U(R_{1}+R_{2})}{2R_{1}R_{2}}$.
Если сопротивление переменного резистора, напротив, очень велико, то схему можно перерисовать так, как показано на рисунке 2. Сопротивление этой цепи равно $r_{2} = \frac{R_{1}+R_{2}}{2}$, а ток, текущий через миллиамперметр, равен
$I_{2} = \frac{U}{r_{2}} = \frac{2U}{R_{1}+R_{2}}$.
Исключая из полученной системы уравнений, например, величину $R_{2}$, приходим к квадратному уравнению, позволяющему определить $R_{1}$:
$I_{1}I_{2}R_{1}^{2} 2UI_{1}R_{1} + U^{2} = 0$.
Отсюда
$R_{1} = \frac{U}{I_{1}I_{2}} \left( I_{1} \pm \sqrt{I_{1}(I_{1}-I_{2})} \right )$,
и
$R_{2} = \frac{2U}{I_{2}} - R_{1} = \frac{U}{I_{1}I_{2}} \left( I_{1} \mp \sqrt{I_{1}(I_{1}-I_{2})} \right )$.
Заметим, что формулы получились симметричными — выражения для $R_{1}$ и $R_{2}$ переходят друг в друга при замене знака перед квадратным корнем. Это связано с тем, что исходная схема включения резисторов также симметрична.
Из графика, приведённого в условии на правом рисунке, видно, что $I_{1} = 1 \cdot 10^{-3} А, I_{2} = 0,75 \cdot 10^{-3} А$. Подставляя эти значения в полученные формулы и выбирая в первой перед корнем знак «+», а во второй — знак « —», найдём: $R_{1} = 6 кОм, R_{2} = 2 кОм$. При противоположном выборе знаков получится $R_{1} = 2 кОм, R_{2} = 6 кОм$.
Электрическая цепь, изображённая на левом рисунке, состоит из источника постоянного напряжения $U = 3 В$, миллиамперметра с очень маленьким внутренним сопротивлением, четырёх постоянных резисторов и одного переменного. На правом рисунке приведён график зависимости показаний миллиамперметра от величины сопротивления переменного резистора $R$. Найдите величины сопротивлений постоянных резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
Пусть сопротивление переменного резистора $R = 0$. Тогда схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 1. Полное сопротивление такой цепи равно $r_{1} = 2R_{1}R_{2}/(R_{1} + R_{2})$, а текущий через миллиамперметр ток равен
$I_{1} = \frac{U}{r_{1}} = \frac{U(R_{1}+R_{2})}{2R_{1}R_{2}}$.
Если сопротивление переменного резистора, напротив, очень велико, то схему можно перерисовать так, как показано на рисунке 2. Сопротивление этой цепи равно $r_{2} = \frac{R_{1}+R_{2}}{2}$, а ток, текущий через миллиамперметр, равен
$I_{2} = \frac{U}{r_{2}} = \frac{2U}{R_{1}+R_{2}}$.
Исключая из полученной системы уравнений, например, величину $R_{2}$, приходим к квадратному уравнению, позволяющему определить $R_{1}$:
$I_{1}I_{2}R_{1}^{2} 2UI_{1}R_{1} + U^{2} = 0$.
Отсюда
$R_{1} = \frac{U}{I_{1}I_{2}} \left( I_{1} \pm \sqrt{I_{1}(I_{1}-I_{2})} \right )$,
и
$R_{2} = \frac{2U}{I_{2}} - R_{1} = \frac{U}{I_{1}I_{2}} \left( I_{1} \mp \sqrt{I_{1}(I_{1}-I_{2})} \right )$.
Заметим, что формулы получились симметричными — выражения для $R_{1}$ и $R_{2}$ переходят друг в друга при замене знака перед квадратным корнем. Это связано с тем, что исходная схема включения резисторов также симметрична.
Из графика, приведённого в условии на правом рисунке, видно, что $I_{1} = 1 \cdot 10^{-3} А, I_{2} = 0,75 \cdot 10^{-3} А$. Подставляя эти значения в полученные формулы и выбирая в первой перед корнем знак «+», а во второй — знак « —», найдём: $R_{1} = 6 кОм, R_{2} = 2 кОм$. При противоположном выборе знаков получится $R_{1} = 2 кОм, R_{2} = 6 кОм$.
