Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12591
2020-01-08 
Таракан и два жука могут ползать по большому горизонтальному столу. Каждый из жуков может развивать скорость до $v = 1 см/с$. В первый момент насекомые находятся в вершинах равностороннего треугольника. Какую скорость должен уметь развивать таракан, чтобы при любых перемещениях жуков треугольник оставался равносторонним?
Решение:
Рассмотрим маленький промежуток времени $\Delta t$, за который первый жук сместился на $\vec{s}_{1} = \vec{v}_{1} \Delta t$, а второй - на $\vec{s}_{2} = \vec{v}_{2} \Delta t$. Найдем, каким должно быть смещение таракана, чтобы соединяющий их треугольник остался равносторонним.
Будем рассуждать последовательно. Предположим сначала, что первый жук неподвижен, а второй совершил перемещение $\vec{s}_{2}$ (рис.). Чтобы треугольник $Ж_{1}Ж_{2}^{ \prime}Т^{ \prime}$ был равносторонним, таракан должен сместиться на $\vec{TT}^{ \prime}$, причем
$| \vec{TT}^{ \prime} | = | \vec{s}_{2} |= v_{2} \Delta t$.
Пусть теперь неподвижен второй жук, а первый смещается да $vec{s}_{1}$. Тогда таракан должен будет сместиться на $T^{ \prime}T^{ \prime \prime}$, при атом
$| \vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} } | = | \vec{s}_{1} | = v_{1} \Delta t$.
Итак, если один жук смещается на $\vec{s}_{1}$, второй - на $\vec{s}_{2}$, то таракан должен сместиться на
$ \vec{ TT^{ \prime} } + \vec{T^{ \prime}T^{ \prime \prime} } = \vec{TT^{ \prime \prime} } $
Из треугольника $TT^{ \prime}T^{ \prime \prime}$ (рис.) получаем
$| \vec{ TT^{ \prime} } | \leq | \vec{TT^{ \prime} } | + | \vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} } | = (v_{1} + v_{2} ) \Delta t $
Значит, скорость, которую должен развить таракан, связана со скоростями жуков соотношением
$v_{ \tau} = \frac{ | \vec{TT^{ \prime \prime} } | }{ \Delta t} \leq v_{1} + v_{2} \leq 2v$.
Равенству соответствует случай, когда смещения таракана $\vec{TT^{ \prime} }$ и $\vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} }$ направлены в одну сторону. Для этого скорости жуков должны быть направлены, например, так, как показано на рисунке.
Таракан и два жука могут ползать по большому горизонтальному столу. Каждый из жуков может развивать скорость до $v = 1 см/с$. В первый момент насекомые находятся в вершинах равностороннего треугольника. Какую скорость должен уметь развивать таракан, чтобы при любых перемещениях жуков треугольник оставался равносторонним?
Решение:
Рассмотрим маленький промежуток времени $\Delta t$, за который первый жук сместился на $\vec{s}_{1} = \vec{v}_{1} \Delta t$, а второй - на $\vec{s}_{2} = \vec{v}_{2} \Delta t$. Найдем, каким должно быть смещение таракана, чтобы соединяющий их треугольник остался равносторонним.
Будем рассуждать последовательно. Предположим сначала, что первый жук неподвижен, а второй совершил перемещение $\vec{s}_{2}$ (рис.). Чтобы треугольник $Ж_{1}Ж_{2}^{ \prime}Т^{ \prime}$ был равносторонним, таракан должен сместиться на $\vec{TT}^{ \prime}$, причем
$| \vec{TT}^{ \prime} | = | \vec{s}_{2} |= v_{2} \Delta t$.
Пусть теперь неподвижен второй жук, а первый смещается да $vec{s}_{1}$. Тогда таракан должен будет сместиться на $T^{ \prime}T^{ \prime \prime}$, при атом
$| \vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} } | = | \vec{s}_{1} | = v_{1} \Delta t$.
Итак, если один жук смещается на $\vec{s}_{1}$, второй - на $\vec{s}_{2}$, то таракан должен сместиться на
$ \vec{ TT^{ \prime} } + \vec{T^{ \prime}T^{ \prime \prime} } = \vec{TT^{ \prime \prime} } $
Из треугольника $TT^{ \prime}T^{ \prime \prime}$ (рис.) получаем
$| \vec{ TT^{ \prime} } | \leq | \vec{TT^{ \prime} } | + | \vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} } | = (v_{1} + v_{2} ) \Delta t $
Значит, скорость, которую должен развить таракан, связана со скоростями жуков соотношением
$v_{ \tau} = \frac{ | \vec{TT^{ \prime \prime} } | }{ \Delta t} \leq v_{1} + v_{2} \leq 2v$.
Равенству соответствует случай, когда смещения таракана $\vec{TT^{ \prime} }$ и $\vec{T^{ \prime} T^{ \prime \prime} }$ направлены в одну сторону. Для этого скорости жуков должны быть направлены, например, так, как показано на рисунке.
