Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1258
2016-10-20 
Напряжение электрической сети в квартире составляет 220 В. Школьник решил сделать ёлочную гирлянду. В своих запасах он отыскал одну лампочку (36 В/40 Вт), 220 лампочек (3,5 В/0,28 А) и много соединительных проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Какую цепь, включающую лампочку на 36 В и минимальное количество лампочек на 3,5 В, он должен собрать, чтобы все лампы в его гирлянде горели нормальным накалом? Считается, что лампа горит нормальным накалом, если падение напряжения на ней отличается от напряжения, на которое она рассчитана, не более, чем на 1%.
Решение:
Понятно, что лампочка (36 В/40 Вт) должна быть подключена к источнику напряжения последовательно с некоторым количеством соединённых в различных комбинациях лампочек (3,5 В/0,28 А) — в противном случае будет невозможно обеспечить подачу на неё напряжения 36 В. По условию задачи падение напряжения на лампе может отличаться от номинального не более чем на 1%, то есть для лампочки, рассчитанной на 36 В, оно может варьироваться в пределах от 35,64 В до 36,36 В, а для лампочки, рассчитанной на 3,5 В — от 3,465 В до 3,535 В. При последовательном подключении лампочки (36 В/40 Вт) и лампочек (3,5 В/0,28 А) на долю последних придётся от 183,64 В до 184,36 В. Поэтому для того, чтобы лампочки (3,5 В/0,28 А) горели нормально, их цепочка должна включать в себя от $183,64/3,535 \approx$ 51,95 ламп до 184,36/3,465 $\approx$ 53,21 ламп, то есть реально — 52 или 53 лампы.
Легко видеть, что для нормальной работы схемы недостаточно последовательно подключить к лампе (36 В/40 Вт) одну цепочку из 52 или 53 ламп (3,5 В/0,28 А). Действительно, сила тока через лампу (3,5 В/0,28 А) может составлять от 0,2772 А до 0,2828 А, а через лампу (36 В/40 Вт) — от 1,1 А до 1,122 А. Поэтому для нормальной работы схемы необходимо последовательно соединить лампу (36 В/40 Вт) с несколькими параллельно включёнными цепями из ламп (3,5 В/0,28 А), причём количество цепей может варьироваться от 1,1/0,2828 $\approx$ 3,890 до 1,122/0,2772 $\approx$ 4,048, то есть реально количество цепей должно быть равно четырём. Значит, возможны следующие случаи:
1) все четыре цепи состоят из 52 ламп (3,5 В/0,28 А);
2) все четыре цепи состоят из 53 ламп (3,5 В/0,28 А);
3) часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А).
Рассмотрим эти случаи по отдельности.
1) Прежде всего вычислим сопротивления $R$ лампы (36 В/40 Вт) и г лампы (3,5 В/0,28 А):
$R = \frac{(36 В)^{2}}{40 Вт} = 32,4 Ом, r = \frac{3,5 В}{0,28 А} = 125 0м$.
Сопротивление одной цепи из 52 ламп равно $52r$, четырёх параллельно соединённых одинаковых цепей — $52r/4$, всей цепи — $R + (52r/4)$, а напряжение на лампе (36 В/40 Вт) в соответствии с законом Ома составляет
$U_{R} = \frac{220R}{R + (52r/4)} \approx 36,57 В$,
то есть отличается от номинального более чем на 1%. Таким образом случай 1) не удовлетворяет условиям задачи.
2) Аналогично случаю 1), можно показать, что напряжение на лампе (36 В/40 Вт) составляет
$U_{R} = \frac{220R}{R + (53r/4)} \approx 35,995 В$,
то есть оно удовлетворяет условию задачи. Напряжение же на каждой из ламп (3,5 В/0,28 А) в этом случае равно
$U_{r} = \frac{220 - U_{R}}{53} \approx 3,472 В$,
что также лежит в пределах 1% от номинала. Таким образом, случай 2) возможен. При таком способе включения (4 параллельные цепи из 53 последовательно соединённых ламп (3,5 В/0,28 А) последовательно соединены с лампой (36 В/40 Вт)) условия задачи выполняются, и количество ламп (3,5 В/0,28 А) составляет 212 штук.
3) Пусть часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А). В соответствии с законом Ома, сила тока в участке цепи прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению. Так как напряжение на всех параллельно включённых цепях одинаково, и они состоят из одинаковых ламп, то отношение сил тока $I_{52}$ и $I_{53}$, текущих в цепях из 52 и 53 ламп соответственно, равно обратному отношению числа ламп в этих цепях: $I_{52}/I_{53} = 53/52$. Ранее было показано, что сила тока, текущего через лампу (3,5 В/0,28 А), может лежать в пределах от 0,2772 А до 0,2828 А. Значит, сила тока $I_{52}$, текущего через цепочку из 52 ламп, может лежать в пределах от $0,2772 \cdot (53/52) \approx 0,2825 А$ до 0,2828 А, а тока $I_{53}$, текущего через цепочку из 53 ламп — от 0,2772 А до $0,2828 \cdot (52/53) \approx 0,2775 А$. Теперь можно по отдельности рассмотреть три возможных варианта
построения цепи.
а) Параллельно соединены 1 цепь из 53 ламп и 3 цепи по 52 лампы. В этом случае ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от $0,2772 + 3 \cdot 0,2825 \approx 1,1247 А$ до $0,2775 + 3 \cdot 0,2828 \approx 1,1259 А$. Но ранее было показано, что сила тока через лампу (36 В/40 Вт) должна лежать в пределах от 1,1 А до 1,122 А. Поэтому такой вариант соединения не удовлетворяет условиям задачи.
б) Параллельно соединены 2 цепи по 52 лампы и 2 цепи по 53 лампы. Сила тока, текущего через лампу (36 В/40 Вт), будет находиться в интервале от $2 \cdot 0,2825 + 2 \cdot 0,2772 \approx 1,1194 А$ до $2 \cdot 0,2828 + 2 \cdot 0,2775 \approx 1,1206 А$, то есть попадает в ранее найденный допустимый интервал. Значит, этот вариант соединения подходит. Для его реализации необходимо использовать 210 ламп (3,5 В/0,28 А).
в) Параллельно соединены 1 цепь из 52 ламп и 3 цепи по 53 лампы. При таком варианте соединения ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от $0,2825 + 3 \cdot 0,2772 \approx 1,1141 А$ до $0,2828 + + 3 \cdot 0,2775 \approx 1,1153 А$, то есть также лежит в допустимых пределах. Значит, этот способ соединения ламп также подходит, и для его осуществления нужно израсходовать 211 ламп (3,5 В/0,28 А).
В результате проведённого рассмотрения получаем ответ задачи: цепь, удовлетворяющую условию задачи и включающую в себя минимальное количество лампочек на 3,5 В, следует собирать следующим образом (см. рис. ).
Нужно параллельно соединить друг с другом четыре цепи, две из которых включают в себя по 52 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А), а две другие — по 53 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А). Затем к этой схеме нужно последовательно подключить лампочку (36 В/40 Вт). При этом в гирлянде будет задействовано 210 лампочек на 3,5 В.
Напряжение электрической сети в квартире составляет 220 В. Школьник решил сделать ёлочную гирлянду. В своих запасах он отыскал одну лампочку (36 В/40 Вт), 220 лампочек (3,5 В/0,28 А) и много соединительных проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Какую цепь, включающую лампочку на 36 В и минимальное количество лампочек на 3,5 В, он должен собрать, чтобы все лампы в его гирлянде горели нормальным накалом? Считается, что лампа горит нормальным накалом, если падение напряжения на ней отличается от напряжения, на которое она рассчитана, не более, чем на 1%.
Решение:
Понятно, что лампочка (36 В/40 Вт) должна быть подключена к источнику напряжения последовательно с некоторым количеством соединённых в различных комбинациях лампочек (3,5 В/0,28 А) — в противном случае будет невозможно обеспечить подачу на неё напряжения 36 В. По условию задачи падение напряжения на лампе может отличаться от номинального не более чем на 1%, то есть для лампочки, рассчитанной на 36 В, оно может варьироваться в пределах от 35,64 В до 36,36 В, а для лампочки, рассчитанной на 3,5 В — от 3,465 В до 3,535 В. При последовательном подключении лампочки (36 В/40 Вт) и лампочек (3,5 В/0,28 А) на долю последних придётся от 183,64 В до 184,36 В. Поэтому для того, чтобы лампочки (3,5 В/0,28 А) горели нормально, их цепочка должна включать в себя от $183,64/3,535 \approx$ 51,95 ламп до 184,36/3,465 $\approx$ 53,21 ламп, то есть реально — 52 или 53 лампы.
Легко видеть, что для нормальной работы схемы недостаточно последовательно подключить к лампе (36 В/40 Вт) одну цепочку из 52 или 53 ламп (3,5 В/0,28 А). Действительно, сила тока через лампу (3,5 В/0,28 А) может составлять от 0,2772 А до 0,2828 А, а через лампу (36 В/40 Вт) — от 1,1 А до 1,122 А. Поэтому для нормальной работы схемы необходимо последовательно соединить лампу (36 В/40 Вт) с несколькими параллельно включёнными цепями из ламп (3,5 В/0,28 А), причём количество цепей может варьироваться от 1,1/0,2828 $\approx$ 3,890 до 1,122/0,2772 $\approx$ 4,048, то есть реально количество цепей должно быть равно четырём. Значит, возможны следующие случаи:
1) все четыре цепи состоят из 52 ламп (3,5 В/0,28 А);
2) все четыре цепи состоят из 53 ламп (3,5 В/0,28 А);
3) часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А).
Рассмотрим эти случаи по отдельности.
1) Прежде всего вычислим сопротивления $R$ лампы (36 В/40 Вт) и г лампы (3,5 В/0,28 А):
$R = \frac{(36 В)^{2}}{40 Вт} = 32,4 Ом, r = \frac{3,5 В}{0,28 А} = 125 0м$.
Сопротивление одной цепи из 52 ламп равно $52r$, четырёх параллельно соединённых одинаковых цепей — $52r/4$, всей цепи — $R + (52r/4)$, а напряжение на лампе (36 В/40 Вт) в соответствии с законом Ома составляет
$U_{R} = \frac{220R}{R + (52r/4)} \approx 36,57 В$,
то есть отличается от номинального более чем на 1%. Таким образом случай 1) не удовлетворяет условиям задачи.
2) Аналогично случаю 1), можно показать, что напряжение на лампе (36 В/40 Вт) составляет
$U_{R} = \frac{220R}{R + (53r/4)} \approx 35,995 В$,
то есть оно удовлетворяет условию задачи. Напряжение же на каждой из ламп (3,5 В/0,28 А) в этом случае равно
$U_{r} = \frac{220 - U_{R}}{53} \approx 3,472 В$,
что также лежит в пределах 1% от номинала. Таким образом, случай 2) возможен. При таком способе включения (4 параллельные цепи из 53 последовательно соединённых ламп (3,5 В/0,28 А) последовательно соединены с лампой (36 В/40 Вт)) условия задачи выполняются, и количество ламп (3,5 В/0,28 А) составляет 212 штук.
3) Пусть часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А). В соответствии с законом Ома, сила тока в участке цепи прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению. Так как напряжение на всех параллельно включённых цепях одинаково, и они состоят из одинаковых ламп, то отношение сил тока $I_{52}$ и $I_{53}$, текущих в цепях из 52 и 53 ламп соответственно, равно обратному отношению числа ламп в этих цепях: $I_{52}/I_{53} = 53/52$. Ранее было показано, что сила тока, текущего через лампу (3,5 В/0,28 А), может лежать в пределах от 0,2772 А до 0,2828 А. Значит, сила тока $I_{52}$, текущего через цепочку из 52 ламп, может лежать в пределах от $0,2772 \cdot (53/52) \approx 0,2825 А$ до 0,2828 А, а тока $I_{53}$, текущего через цепочку из 53 ламп — от 0,2772 А до $0,2828 \cdot (52/53) \approx 0,2775 А$. Теперь можно по отдельности рассмотреть три возможных варианта
построения цепи.
а) Параллельно соединены 1 цепь из 53 ламп и 3 цепи по 52 лампы. В этом случае ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от $0,2772 + 3 \cdot 0,2825 \approx 1,1247 А$ до $0,2775 + 3 \cdot 0,2828 \approx 1,1259 А$. Но ранее было показано, что сила тока через лампу (36 В/40 Вт) должна лежать в пределах от 1,1 А до 1,122 А. Поэтому такой вариант соединения не удовлетворяет условиям задачи.
б) Параллельно соединены 2 цепи по 52 лампы и 2 цепи по 53 лампы. Сила тока, текущего через лампу (36 В/40 Вт), будет находиться в интервале от $2 \cdot 0,2825 + 2 \cdot 0,2772 \approx 1,1194 А$ до $2 \cdot 0,2828 + 2 \cdot 0,2775 \approx 1,1206 А$, то есть попадает в ранее найденный допустимый интервал. Значит, этот вариант соединения подходит. Для его реализации необходимо использовать 210 ламп (3,5 В/0,28 А).
в) Параллельно соединены 1 цепь из 52 ламп и 3 цепи по 53 лампы. При таком варианте соединения ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от $0,2825 + 3 \cdot 0,2772 \approx 1,1141 А$ до $0,2828 + + 3 \cdot 0,2775 \approx 1,1153 А$, то есть также лежит в допустимых пределах. Значит, этот способ соединения ламп также подходит, и для его осуществления нужно израсходовать 211 ламп (3,5 В/0,28 А).
В результате проведённого рассмотрения получаем ответ задачи: цепь, удовлетворяющую условию задачи и включающую в себя минимальное количество лампочек на 3,5 В, следует собирать следующим образом (см. рис. ).
Нужно параллельно соединить друг с другом четыре цепи, две из которых включают в себя по 52 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А), а две другие — по 53 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А). Затем к этой схеме нужно последовательно подключить лампочку (36 В/40 Вт). При этом в гирлянде будет задействовано 210 лампочек на 3,5 В.
