Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12567
2020-01-08 
Вдогонку снаряду, выпущенному горизонтально с горы высотой $h = 1 км$ со скоростью $v_{0} = 500 м/с$, через время $t_{0} = 1 с$ выпущен второй снаряд. Какой минимальной начальной скоростью он должен обладать и под каким углом вылететь, чтобы догнать первый снаряд?
Решение:
Сначала рассмотрим задачу в системе отсчета 1, связанной с пушкой (считаем, что оба снаряда выпускаются одной и той же пушкой, расположенной на вершине горы (см. рисунок)). К моменту второго выстрела первый снаряд пройдет по горизонтали расстояние $x_{0} = v_{0}t_{0}$, а по вертикали $y_{0} = \frac{gt_{0}^{2} }{2}$. При этом он будет обладать скоростью, равной $v_{1} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + (gt_{0} )^{2} }$ и направленной под углом $\alpha = arctg \frac{gt_{0} }{v_{0} }$ к горизонту. Представим, что второй снаряд был выпущен со скоростью $v_{1}$ под углом $\alpha$ к горизонту. В этом случае после второго выстрела оба снаряда двигались бы, находясь на одном и том же расстоянии $s_{0} = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}$ друг от друга.
Свяжем систему отсчета 2 со вторым снарядом, если бы он двигался так, как мы предположили. В этой системе второй снаряд догонит первый, если он будет приближаться к нему по прямой, соединяющей снаряды, с относительной скоростью $\vec{v}^{ \prime}$. Найдем ее величину и направление.
Понятно, что скорость сближения не может быть как угодно малой по величине, ибо время сближения должно быть заведомо меньше времени полета $t = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$. Итак,
$v^{ \prime} \geq \frac{s_{0} }{t} = s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h} }$.
Вектор относительной скорости $\vec{v}^{ \prime}$ должен составлять с горизонтом угол $\alpha^{ \prime}$ такой, что
$tg \alpha^{ \prime} = \frac{y_{0} }{x_{0} } = \frac{gt_{0} }{2v_{0} }$.
Теперь вернемся снова в неподвижную систему отсчета 1. Здесь проекции искомой скорости $\vec{v}$ должны быть равны
$v_{x} = v_{0} + v^{ \prime} \cos \alpha^{ \prime}, v_{y} = - gt - v^{ \prime} \sin \alpha^{ \prime}$,
где $v^{ \prime} \geq s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h} }$. Минимальному значению скорости $v^{ \prime} = s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h}}$, при котором встреча снарядов произойдет вблизи поверхности земли, соответствует угол
$\alpha_{0} = \left . arctg \frac{v_{y} }{v_{x} } \right |_{t = t_{0} } = 0,019 рад = 1^{ \circ}5^{ \prime}$.
отсчитываемый вниз от горизонтали. При этом искомая скорость второго снаряда равна
$v = \left . \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } \right |_{t =t_{0} } = 535,1 м/с$.
Вдогонку снаряду, выпущенному горизонтально с горы высотой $h = 1 км$ со скоростью $v_{0} = 500 м/с$, через время $t_{0} = 1 с$ выпущен второй снаряд. Какой минимальной начальной скоростью он должен обладать и под каким углом вылететь, чтобы догнать первый снаряд?
Решение:
Сначала рассмотрим задачу в системе отсчета 1, связанной с пушкой (считаем, что оба снаряда выпускаются одной и той же пушкой, расположенной на вершине горы (см. рисунок)). К моменту второго выстрела первый снаряд пройдет по горизонтали расстояние $x_{0} = v_{0}t_{0}$, а по вертикали $y_{0} = \frac{gt_{0}^{2} }{2}$. При этом он будет обладать скоростью, равной $v_{1} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + (gt_{0} )^{2} }$ и направленной под углом $\alpha = arctg \frac{gt_{0} }{v_{0} }$ к горизонту. Представим, что второй снаряд был выпущен со скоростью $v_{1}$ под углом $\alpha$ к горизонту. В этом случае после второго выстрела оба снаряда двигались бы, находясь на одном и том же расстоянии $s_{0} = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}$ друг от друга.
Свяжем систему отсчета 2 со вторым снарядом, если бы он двигался так, как мы предположили. В этой системе второй снаряд догонит первый, если он будет приближаться к нему по прямой, соединяющей снаряды, с относительной скоростью $\vec{v}^{ \prime}$. Найдем ее величину и направление.
Понятно, что скорость сближения не может быть как угодно малой по величине, ибо время сближения должно быть заведомо меньше времени полета $t = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$. Итак,
$v^{ \prime} \geq \frac{s_{0} }{t} = s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h} }$.
Вектор относительной скорости $\vec{v}^{ \prime}$ должен составлять с горизонтом угол $\alpha^{ \prime}$ такой, что
$tg \alpha^{ \prime} = \frac{y_{0} }{x_{0} } = \frac{gt_{0} }{2v_{0} }$.
Теперь вернемся снова в неподвижную систему отсчета 1. Здесь проекции искомой скорости $\vec{v}$ должны быть равны
$v_{x} = v_{0} + v^{ \prime} \cos \alpha^{ \prime}, v_{y} = - gt - v^{ \prime} \sin \alpha^{ \prime}$,
где $v^{ \prime} \geq s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h} }$. Минимальному значению скорости $v^{ \prime} = s_{0} \sqrt{ \frac{g}{2h}}$, при котором встреча снарядов произойдет вблизи поверхности земли, соответствует угол
$\alpha_{0} = \left . arctg \frac{v_{y} }{v_{x} } \right |_{t = t_{0} } = 0,019 рад = 1^{ \circ}5^{ \prime}$.
отсчитываемый вниз от горизонтали. При этом искомая скорость второго снаряда равна
$v = \left . \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } \right |_{t =t_{0} } = 535,1 м/с$.
