Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12549
2020-01-08 
Внутренняя поверхность сферы покрыта диффузным отражателем с коэффициентом отражения $r = 0,9$. Угловое распределение света, отраженного диффузным отражателем, описывается законом Ламберта:
$\Delta N = \frac{N}{ \pi } \cos \theta \cdot \Delta \Omega$,
где $N$ - полное число отраженных фотонов, $\Delta N$ - число отраженных фитинов в малом телесном угле $\Delta \Omega$, составляющем угол $\theta$ с нормалью к отражающей площадке. В центре сферы происходит вспышка точечного источника света. Какая доля фотонов выйдет через очень маленькие отверстие, имеющееся в сфере?
Решение:
Через отверстие в сфере выйдут, во-первых, те фотоны, которые попадут на отверстие непосредственно сразу после вспышки источника, а во-вторых, те, которые попадут на отверстие в результате многократных отражений от внутренней поверхности сферы.
Рассчитаем, какая доля $p$ фотонов, отразившихся от площадки $\Delta S^{ \prime}$, попадет на площадку $\Delta S$ (см. рисунок). В соответствии с законом Ламберта,
$p = \frac{ \Delta N}{N} = \frac{1}{ \pi} \cos \theta \cdot \Delta \Omega$, где $\Delta \Omega = \Delta S \frac{ \cos \theta}{AB^{2} }$
($\cos \theta$ учитывает "видимую" из точки А площадь $\Delta S$). Поскольку $AB = 2R \cos \theta$,
$p = \frac{ \Delta S}{4 \pi R^{2} }$.
Таким образом, доля фотонов, попавших на площадку $\Delta S$ с площадки $\Delta S^{ \prime}$, зависит только от отношении $\Delta S$ к площади сферы и не зависит от взаимного расположения выбранных площадок. Это в свою очередь означает, что если площадь отверстия $s$, а площадь сферы $S$, то после отражения от сферы через отверстие выйдет доля отраженных фотонов, равная $s/S$. Для оценки положим $s/S = 0,1$%.
Поскольку уменьшение числа фотонов за счет поглощения стенками сферы на два порядка больше, чем за счет утечки через отверстие (при каждом отражении теряется 10% фотонов, а через отверстие после каждого отражения выходит 0,1%), уменьшением числа $N_{c}$ фотонов в сфере за счет утечки через отверстие можно пренебречь. Тогда сразу после вспышки (до первого отражения) через отверстие выйдет $N_{0}s/S$ фотонов, после первого отражения - $rN_{0}s/S$ фотонов, после второго - $r^{2}N_{0}s/S$ и т.д. Доля фотонов, которые в конце концов выйдут через отверстие, равна
$\alpha = \frac{s}{S} (1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n} ) = \frac{s}{S} \frac{1}{1 - r} = 1$%
Внутренняя поверхность сферы покрыта диффузным отражателем с коэффициентом отражения $r = 0,9$. Угловое распределение света, отраженного диффузным отражателем, описывается законом Ламберта:
$\Delta N = \frac{N}{ \pi } \cos \theta \cdot \Delta \Omega$,
где $N$ - полное число отраженных фотонов, $\Delta N$ - число отраженных фитинов в малом телесном угле $\Delta \Omega$, составляющем угол $\theta$ с нормалью к отражающей площадке. В центре сферы происходит вспышка точечного источника света. Какая доля фотонов выйдет через очень маленькие отверстие, имеющееся в сфере?
Решение:
Через отверстие в сфере выйдут, во-первых, те фотоны, которые попадут на отверстие непосредственно сразу после вспышки источника, а во-вторых, те, которые попадут на отверстие в результате многократных отражений от внутренней поверхности сферы.
Рассчитаем, какая доля $p$ фотонов, отразившихся от площадки $\Delta S^{ \prime}$, попадет на площадку $\Delta S$ (см. рисунок). В соответствии с законом Ламберта,
$p = \frac{ \Delta N}{N} = \frac{1}{ \pi} \cos \theta \cdot \Delta \Omega$, где $\Delta \Omega = \Delta S \frac{ \cos \theta}{AB^{2} }$
($\cos \theta$ учитывает "видимую" из точки А площадь $\Delta S$). Поскольку $AB = 2R \cos \theta$,
$p = \frac{ \Delta S}{4 \pi R^{2} }$.
Таким образом, доля фотонов, попавших на площадку $\Delta S$ с площадки $\Delta S^{ \prime}$, зависит только от отношении $\Delta S$ к площади сферы и не зависит от взаимного расположения выбранных площадок. Это в свою очередь означает, что если площадь отверстия $s$, а площадь сферы $S$, то после отражения от сферы через отверстие выйдет доля отраженных фотонов, равная $s/S$. Для оценки положим $s/S = 0,1$%.
Поскольку уменьшение числа фотонов за счет поглощения стенками сферы на два порядка больше, чем за счет утечки через отверстие (при каждом отражении теряется 10% фотонов, а через отверстие после каждого отражения выходит 0,1%), уменьшением числа $N_{c}$ фотонов в сфере за счет утечки через отверстие можно пренебречь. Тогда сразу после вспышки (до первого отражения) через отверстие выйдет $N_{0}s/S$ фотонов, после первого отражения - $rN_{0}s/S$ фотонов, после второго - $r^{2}N_{0}s/S$ и т.д. Доля фотонов, которые в конце концов выйдут через отверстие, равна
$\alpha = \frac{s}{S} (1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n} ) = \frac{s}{S} \frac{1}{1 - r} = 1$%
