Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12547
2020-01-08 
Оценки массы Галактики, полученные различными способами, дают отличающиеся результаты. Так, согласно визуальным оценкам, в пределах расстояния $R = 3 \cdot 10^{9} R_{0}$ ($R_{0}$ - радиус орбиты Земли) от центра Галактики сосредоточена масса $M_{1} =1,5 \cdot 10^{11} M_{0}$, ($M_{0}$ - масса Солнца). Между тем период обращения звезд, находящихся на указанном расстоянии от центра Галактики, составляет $T = 3,75 \cdot 10^{8} лет$. Определить "скрытую массу" Галактики, т. е. массу невидимых объектов внутри сферы радиусом $R$. При расчете движения звезд массу Галактики можно считать сосредоточенной в ее центре.
Решение:
Для тела, движущеюся по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$ под действием притяжения центрального тела массой $\mu_{ц}$, центростремительное ускорение $v^{2}/$ равно гравитационному ускорению $G m_{ц}/r^{2}$ ($G$ - гравитационная постоянная):
$\frac{v^{2} }{r} = \frac{Gm_{ц} }{r^{2} }$.
Отсюда, используя для периода обращения выражение $t = \frac{2 \pi r}{v}$, дли массы центрального тела получим
$m_{ц} = \frac{4 \pi^{2} r^{3} }{Gt^{2} }$.
Сравнивая движение Земли вокруг Солнца (с периодом $T_{0} = 1$ год) с движением рассматриваемых в задаче звезд, найдем полную массу $M$ Галактики внутри сферы, радиус которой равен $R$:
$M_{0} = \frac{4 \pi^{2}R_{0}^{3} }{GT_{0}^{2} }, M = \frac{4 \pi^{2}R^{3} }{GT^{2} }$,
$M = M_{0} \frac{R^{2} }{R_{0}^{3} } \frac{T_{0}^{2} }{T^{2} } = 1,9 \cdot 10^{11} M_{0}$.
Таким образом, "скрытая масса" Галактики равна
$\Delta M = M - M_{1} = 4 \cdot 10^{10} M_{0}$.
Оценки массы Галактики, полученные различными способами, дают отличающиеся результаты. Так, согласно визуальным оценкам, в пределах расстояния $R = 3 \cdot 10^{9} R_{0}$ ($R_{0}$ - радиус орбиты Земли) от центра Галактики сосредоточена масса $M_{1} =1,5 \cdot 10^{11} M_{0}$, ($M_{0}$ - масса Солнца). Между тем период обращения звезд, находящихся на указанном расстоянии от центра Галактики, составляет $T = 3,75 \cdot 10^{8} лет$. Определить "скрытую массу" Галактики, т. е. массу невидимых объектов внутри сферы радиусом $R$. При расчете движения звезд массу Галактики можно считать сосредоточенной в ее центре.
Решение:
Для тела, движущеюся по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$ под действием притяжения центрального тела массой $\mu_{ц}$, центростремительное ускорение $v^{2}/$ равно гравитационному ускорению $G m_{ц}/r^{2}$ ($G$ - гравитационная постоянная):
$\frac{v^{2} }{r} = \frac{Gm_{ц} }{r^{2} }$.
Отсюда, используя для периода обращения выражение $t = \frac{2 \pi r}{v}$, дли массы центрального тела получим
$m_{ц} = \frac{4 \pi^{2} r^{3} }{Gt^{2} }$.
Сравнивая движение Земли вокруг Солнца (с периодом $T_{0} = 1$ год) с движением рассматриваемых в задаче звезд, найдем полную массу $M$ Галактики внутри сферы, радиус которой равен $R$:
$M_{0} = \frac{4 \pi^{2}R_{0}^{3} }{GT_{0}^{2} }, M = \frac{4 \pi^{2}R^{3} }{GT^{2} }$,
$M = M_{0} \frac{R^{2} }{R_{0}^{3} } \frac{T_{0}^{2} }{T^{2} } = 1,9 \cdot 10^{11} M_{0}$.
Таким образом, "скрытая масса" Галактики равна
$\Delta M = M - M_{1} = 4 \cdot 10^{10} M_{0}$.
