Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12544
2020-01-08 
В строительстве используются так называемые предварительно напряженные железобетонные конструкции. Изготовление такой балки происходит следующим образом. Стальной стержень длиной $l_{1}$ растягивают до длины $l_{2}$, после чего заливают жидким бетоном. После затвердевания бетона стержень освобождают от растягивающего усилия. Найти длину образовавшейся железобетонной балки и ее модулю Юнга. Площади сечения стержня и балки и модули Юнга стали и бетона считать известными. Чем предварительно напряженный железобетон лучше простого железобетона?
Решение:
Пусть длина железобетонной балки после того, как со стального стержня будет снято растягивающее усилие, равна $l_{0}$ ($l_{1} < l_{0} < l_{2}$). При этом стержень рас-
тянут на величину $\Delta l_{1} = l_{0} - l_{1}$, а затвердевший бетон сжат на величину $\Delta l_{2} = l_{2} - l_{0}$. Согласно закону Гука, для такой деформации стержня необходима сила
$F_{1} = \frac{E_{1}S_{1} \Delta l_{1}}{l_{1} }$,
где $S_{1}$ - площадь его поперечного сечения, $E_{1}$ - модуль Юнга стали. А нелогично, для деформации бетона нужна сила
$F_{2} = \frac{E_{2}S_{2} \Delta l_{2} }{l_{2} }$,
где $S_{2}$ и $E_{2}$ - площадь поперечного сечения и модуль Юнга бетонного бруска (без стержня). Естественно, что при отсутствии внешних сил сила сжатия бетона уравновешивает силу растяжения стержня:
$F{1} = F_{2}$.
Отсюда, используя предыдущие выражения, найдем искомую длину железобетонной балки
$l_{0} = \frac{E_{2}S_{2} + E_{1}S_{1} }{ \frac{E_{1}S_{1} }{l_{1} } + \frac{E_{2}S_{2} }{ l_{2} } }$.
Для определения модуля Юнга $E_{0}$ железобетонной балки рассчитаем силу, которая необходима для растяжения балки на величину $\Delta l_{0}$. При такой деформации стержень будет растянут на $\Delta l_{1} + \Delta l_{0}$ (по сравнению с первоначальной длиной $l_{1}$), и сила растяжения будет равна
$F_{1}^{ \prime} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} + \Delta l_{1}}{l_{1} }$.
Бетонный брус будет сжат на $\Delta l_{2} - \Delta l_{0}$ (по сравнению со своей первоначальной длиной $l_{2}$), и сила его сжатия будет равна
$F_{2}^{ \prime} E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{2} - \Delta l_{0} }{l_{2} }$.
(Если $\Delta l_{0} > \Delta l_{2}$, то $F_{2}^{ \prime}$ будет силой растяжения, а не сжатия бетона.) Результирующая сила, необходимая для растяжения железобетонной балки, равна
$F_{0} = F_{1}^{ \prime} - F_{2}^{ \prime} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} + \Delta l_{1} }{l_{1} } - E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{2} - \Delta l_{0} }{l_{2} }$,
или, учитывая равенство $E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{1} }{l_{1} } = \frac{ \Delta l_{2} }{l_{2} }$, -
$F_{0} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{1} } + E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{2} }$.
Вынесем $\Delta l_{0}$ за скобки, умножим и разделим на $S_{2} / l_{0}$ (считая $S_{1} \ll S_{2}$) и получим
$F_{0} = \left ( \left ( \frac{E_{1}S_{1} }{l_{1} } + \frac{E_{2}S_{2} }{l_{2} } \right ) \frac{l_{0} }{S_{2} } \right ) S_{2} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{0} }$.
Нетрудно видеть, что выражение во внешних скобках и есть модуль Юнга железобетонной балки $E_{0}$. Использовав формулу для $l_{0}$, найдем
$E_{0} = E_{2} + \frac{S_{1} }{S_{2} } E_{1}$.
Интересно отметить, что такой же модуль Юнга будет и у балки, изготовленной без предварительного растяжения стального стержня. Преимущество предварительно напряженного железобетона состоит в том, что бетонное основание в таких конструкциях испытывает деформацию сжатия, даже если сама конструкция в целом испытывает деформацию растяжения. Поскольку прочность бетона при сжатии значительно больше его прочности при растяжении, существенно уменьшается вероятность образования трещин в бетонном основании.
В строительстве используются так называемые предварительно напряженные железобетонные конструкции. Изготовление такой балки происходит следующим образом. Стальной стержень длиной $l_{1}$ растягивают до длины $l_{2}$, после чего заливают жидким бетоном. После затвердевания бетона стержень освобождают от растягивающего усилия. Найти длину образовавшейся железобетонной балки и ее модулю Юнга. Площади сечения стержня и балки и модули Юнга стали и бетона считать известными. Чем предварительно напряженный железобетон лучше простого железобетона?
Решение:
Пусть длина железобетонной балки после того, как со стального стержня будет снято растягивающее усилие, равна $l_{0}$ ($l_{1} < l_{0} < l_{2}$). При этом стержень рас-
тянут на величину $\Delta l_{1} = l_{0} - l_{1}$, а затвердевший бетон сжат на величину $\Delta l_{2} = l_{2} - l_{0}$. Согласно закону Гука, для такой деформации стержня необходима сила
$F_{1} = \frac{E_{1}S_{1} \Delta l_{1}}{l_{1} }$,
где $S_{1}$ - площадь его поперечного сечения, $E_{1}$ - модуль Юнга стали. А нелогично, для деформации бетона нужна сила
$F_{2} = \frac{E_{2}S_{2} \Delta l_{2} }{l_{2} }$,
где $S_{2}$ и $E_{2}$ - площадь поперечного сечения и модуль Юнга бетонного бруска (без стержня). Естественно, что при отсутствии внешних сил сила сжатия бетона уравновешивает силу растяжения стержня:
$F{1} = F_{2}$.
Отсюда, используя предыдущие выражения, найдем искомую длину железобетонной балки
$l_{0} = \frac{E_{2}S_{2} + E_{1}S_{1} }{ \frac{E_{1}S_{1} }{l_{1} } + \frac{E_{2}S_{2} }{ l_{2} } }$.
Для определения модуля Юнга $E_{0}$ железобетонной балки рассчитаем силу, которая необходима для растяжения балки на величину $\Delta l_{0}$. При такой деформации стержень будет растянут на $\Delta l_{1} + \Delta l_{0}$ (по сравнению с первоначальной длиной $l_{1}$), и сила растяжения будет равна
$F_{1}^{ \prime} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} + \Delta l_{1}}{l_{1} }$.
Бетонный брус будет сжат на $\Delta l_{2} - \Delta l_{0}$ (по сравнению со своей первоначальной длиной $l_{2}$), и сила его сжатия будет равна
$F_{2}^{ \prime} E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{2} - \Delta l_{0} }{l_{2} }$.
(Если $\Delta l_{0} > \Delta l_{2}$, то $F_{2}^{ \prime}$ будет силой растяжения, а не сжатия бетона.) Результирующая сила, необходимая для растяжения железобетонной балки, равна
$F_{0} = F_{1}^{ \prime} - F_{2}^{ \prime} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} + \Delta l_{1} }{l_{1} } - E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{2} - \Delta l_{0} }{l_{2} }$,
или, учитывая равенство $E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{1} }{l_{1} } = \frac{ \Delta l_{2} }{l_{2} }$, -
$F_{0} = E_{1}S_{1} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{1} } + E_{2}S_{2} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{2} }$.
Вынесем $\Delta l_{0}$ за скобки, умножим и разделим на $S_{2} / l_{0}$ (считая $S_{1} \ll S_{2}$) и получим
$F_{0} = \left ( \left ( \frac{E_{1}S_{1} }{l_{1} } + \frac{E_{2}S_{2} }{l_{2} } \right ) \frac{l_{0} }{S_{2} } \right ) S_{2} \frac{ \Delta l_{0} }{l_{0} }$.
Нетрудно видеть, что выражение во внешних скобках и есть модуль Юнга железобетонной балки $E_{0}$. Использовав формулу для $l_{0}$, найдем
$E_{0} = E_{2} + \frac{S_{1} }{S_{2} } E_{1}$.
Интересно отметить, что такой же модуль Юнга будет и у балки, изготовленной без предварительного растяжения стального стержня. Преимущество предварительно напряженного железобетона состоит в том, что бетонное основание в таких конструкциях испытывает деформацию сжатия, даже если сама конструкция в целом испытывает деформацию растяжения. Поскольку прочность бетона при сжатии значительно больше его прочности при растяжении, существенно уменьшается вероятность образования трещин в бетонном основании.
