Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12543
2020-01-08 
Из-за малого коэффициента трения автомобиль не может двигаться по льду с ускорением, превосходящим по модулю $a = 0,5 м/с^{2}$. По условиям соревнования водителю необходимо из точки А за наименьшее время попасть в точку В, находящуюся на прямой, перпендикулярной направлению начальной скорости автомобиля (рис.). Каково минимальное возможное время, если расстояние $AB = 375 м$, а начальная скорость $v = 10 м/с$? По какой траектории при этом должен двигаться автомобиль?
Ответьте на аналогичные вопросы для случая, когда финиш находится в точке С, $BC = 200 м$.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, в которой автомобиль в начальный момент времени покоится, а точка В движется с постоянной скоростью $v$. В этой системе отсчета автомобиль для скорейшей встречи с точкой В, очевидно, должен двигаться по некоторой прямой с постоянным ускорением, равным $a$. Направление прямой определяется тем, что в некоторой точке D должна произойти встреча. Для треугольника ABD (рис), обозначив $AB = b$, имеем
$b^{2} + (vt)^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}$.
Решая это уравнение, находим
$t = \sqrt{ \frac{2v^{2} }{a^{2} } + \sqrt{ \left ( \frac{2v^{2} }{a^{2} } \right )^{2} + \frac{4b^{2} }{a^{2} } } } = 50 с$.
Поскольку оптимальное движение автомобиля является равноускоренным, его траектория в системе отсчета, связанной с землей, будет параболой.
Стратегия для скорейшей встречи с точкой С аналогична разобранной выше. Однако для нахождения времени до встречи в точке Е (рис.) придется решать уравнение четвертой степени общего вида
$b^{2} + (vt + c)^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}$,
где $c = BC$, или
$t = \sqrt[4]{ \frac{4}{a^{2} } (b^{2} + (vt + c)^{2} ) }$.
Это уравнение можно решить приближенно, пользуясь методом итерации, суть которого состоит в следующем. Пусть надо решить уравнение вида $f(t) = t$. В качестве приближенного берем какое-нибудь значение $t = t_{0}$ и составляет последовательность
$t_{1} = f(t_{0} ), t_{2} = f(t_{1} ), \cdots, t_{n} = f(t_{n-1} )$.
Если это последовательность имеет предел $S$ и функция $f(t)$ непрерывна в точке $S$, то $S$ - корень уравнения (*).
В нашем случае при условии $t_{0} = 0$ последовательность будет иметь вид
$t_{1} = f(t_{0} ), t_{2} = f(t_{1} ), \cdots, t_{n} = \sqrt[4]{ \frac{4}{a^{2} } (b^{2} + (vt_{n - 1} + c)^{2} ) }$.
Подставив численные значения, придем к результату
$t \approx 59,2 с$.
При этом, как показывает более детальное изучение последовательности, при $n = 4$ достигается точность в один процент, а каждые два дополнительных шага (вычисление двух последующих членов последовательности) улучшают точность в десять раз.
Для случая произвольного расположения точки финиша при итерационном решении уравнения (*), где перед $c = BC$ может быть как знак плюс, так и знак минус, надо соблюдать известную осторожность, связанную с возможной неоднозначностью решения и правильным выбором нулевого приближения итерации.
И еще одно замечание. Движение по параболе с постоянным вектором ускорения потребует, конечно, немалой сноровки от водителя.
Из-за малого коэффициента трения автомобиль не может двигаться по льду с ускорением, превосходящим по модулю $a = 0,5 м/с^{2}$. По условиям соревнования водителю необходимо из точки А за наименьшее время попасть в точку В, находящуюся на прямой, перпендикулярной направлению начальной скорости автомобиля (рис.). Каково минимальное возможное время, если расстояние $AB = 375 м$, а начальная скорость $v = 10 м/с$? По какой траектории при этом должен двигаться автомобиль?
Ответьте на аналогичные вопросы для случая, когда финиш находится в точке С, $BC = 200 м$.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, в которой автомобиль в начальный момент времени покоится, а точка В движется с постоянной скоростью $v$. В этой системе отсчета автомобиль для скорейшей встречи с точкой В, очевидно, должен двигаться по некоторой прямой с постоянным ускорением, равным $a$. Направление прямой определяется тем, что в некоторой точке D должна произойти встреча. Для треугольника ABD (рис), обозначив $AB = b$, имеем
$b^{2} + (vt)^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}$.
Решая это уравнение, находим
$t = \sqrt{ \frac{2v^{2} }{a^{2} } + \sqrt{ \left ( \frac{2v^{2} }{a^{2} } \right )^{2} + \frac{4b^{2} }{a^{2} } } } = 50 с$.
Поскольку оптимальное движение автомобиля является равноускоренным, его траектория в системе отсчета, связанной с землей, будет параболой.
Стратегия для скорейшей встречи с точкой С аналогична разобранной выше. Однако для нахождения времени до встречи в точке Е (рис.) придется решать уравнение четвертой степени общего вида
$b^{2} + (vt + c)^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}$,
где $c = BC$, или
$t = \sqrt[4]{ \frac{4}{a^{2} } (b^{2} + (vt + c)^{2} ) }$.
Это уравнение можно решить приближенно, пользуясь методом итерации, суть которого состоит в следующем. Пусть надо решить уравнение вида $f(t) = t$. В качестве приближенного берем какое-нибудь значение $t = t_{0}$ и составляет последовательность
$t_{1} = f(t_{0} ), t_{2} = f(t_{1} ), \cdots, t_{n} = f(t_{n-1} )$.
Если это последовательность имеет предел $S$ и функция $f(t)$ непрерывна в точке $S$, то $S$ - корень уравнения (*).
В нашем случае при условии $t_{0} = 0$ последовательность будет иметь вид
$t_{1} = f(t_{0} ), t_{2} = f(t_{1} ), \cdots, t_{n} = \sqrt[4]{ \frac{4}{a^{2} } (b^{2} + (vt_{n - 1} + c)^{2} ) }$.
Подставив численные значения, придем к результату
$t \approx 59,2 с$.
При этом, как показывает более детальное изучение последовательности, при $n = 4$ достигается точность в один процент, а каждые два дополнительных шага (вычисление двух последующих членов последовательности) улучшают точность в десять раз.
Для случая произвольного расположения точки финиша при итерационном решении уравнения (*), где перед $c = BC$ может быть как знак плюс, так и знак минус, надо соблюдать известную осторожность, связанную с возможной неоднозначностью решения и правильным выбором нулевого приближения итерации.
И еще одно замечание. Движение по параболе с постоянным вектором ускорения потребует, конечно, немалой сноровки от водителя.
