Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12539
2020-01-08 
Имеются два полупрозрачных зеркала, каждое из которых, как показывают измерения, пропускает приблизительно 1/5 часть светового потока, о остальной свет отражает. Если на пути параллельного пучка света установить оба зеркала так. чтобы их плоскости были перпендикулярны пучку, то, казалось бы, они должны пропускать 1/25 часть падающего потока света, тогда как на самом деле свет ослабляется не в 25 раз, а заметно меньше (примерно в 10 раз). Объяснить явление.
Решение:
Явление объясняется тем, что лучи света, отраженные вторым зеркалом, снова возвращаются на первое зеркало, частично отражаются от него и, попадая на второе, увеличивают интенсивность прошедшего пучка.
Пусть $I$ - интенсивность исходного светового пучка (см. рисунок; падающий световой пучок для наглядности изображен наклонным). Тогда интенсивность света, прошедшего через первое зеркало, будет равна $i_{0} = \frac{I}{k}$, где $k$ - коэффициент ослабления света зеркалом ($k = 5$ по условию задачи). При последовательных отражениях интенсивность "захваченного" между зеркалами света постепенно падает из-за частичной прозрачности зеркал, и через достаточно большое число отражений наружу выйдет практически весь "захваченный" свет, причем почти поровну вправо и влево. Таким образом, полная интенсивность прошедшего света будет равна
$I^{ \prime} \approx \frac{i_{0} }{2} = \frac{I}{2k} = \frac{I}{10}$.
Задача допускает и точное решение. Запишем, как меняется интенсивность "захваченного" между зеркалами света при последовательных отражениях:
$i_{1} = i_{0} \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2}, i_{2} = i_{1} \left (1 - \frac{1}{k} \right )^{2} = i_{0} \left ( 1- \frac{1}{k} \right )^{4}, \cdots$
При каждом падении на зеркало 2 свет частично выходит вправо:
$I_{1} = \frac{i_{0} }{k}, I_{2} = \frac{i_{1} }{k}, I_{3} = \frac{i_{2} }{k}, \cdots$
Полная интенсивность прошедшего света
$I^{ \prime} = I_{1} + I_{2} + I_{3} + \cdots = \frac{1}{k} (i_{0} + i_{1} + i_{2} + \cdots ) = \frac{i_{0} }{k} \left (1 + \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2} + \left ( 1- \frac{1}{k} \right )^{4} + \cdots \right )$
представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q = \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2}$, поэтому
$I^{ \prime} = \frac{i_{0} }{k} \frac{1}{1 - q} = \frac{i_{0} }{k} \frac{k^{2} }{k^{2} - (k - 1)^{2} } = \frac{i_{0}k }{2k - 1} = \frac{I}{2k - 1} = \frac{I}{9}$.
При $k = 5$ точное решение всего на 10% отличается от приближенного.
Имеются два полупрозрачных зеркала, каждое из которых, как показывают измерения, пропускает приблизительно 1/5 часть светового потока, о остальной свет отражает. Если на пути параллельного пучка света установить оба зеркала так. чтобы их плоскости были перпендикулярны пучку, то, казалось бы, они должны пропускать 1/25 часть падающего потока света, тогда как на самом деле свет ослабляется не в 25 раз, а заметно меньше (примерно в 10 раз). Объяснить явление.
Решение:
Явление объясняется тем, что лучи света, отраженные вторым зеркалом, снова возвращаются на первое зеркало, частично отражаются от него и, попадая на второе, увеличивают интенсивность прошедшего пучка.
Пусть $I$ - интенсивность исходного светового пучка (см. рисунок; падающий световой пучок для наглядности изображен наклонным). Тогда интенсивность света, прошедшего через первое зеркало, будет равна $i_{0} = \frac{I}{k}$, где $k$ - коэффициент ослабления света зеркалом ($k = 5$ по условию задачи). При последовательных отражениях интенсивность "захваченного" между зеркалами света постепенно падает из-за частичной прозрачности зеркал, и через достаточно большое число отражений наружу выйдет практически весь "захваченный" свет, причем почти поровну вправо и влево. Таким образом, полная интенсивность прошедшего света будет равна
$I^{ \prime} \approx \frac{i_{0} }{2} = \frac{I}{2k} = \frac{I}{10}$.
Задача допускает и точное решение. Запишем, как меняется интенсивность "захваченного" между зеркалами света при последовательных отражениях:
$i_{1} = i_{0} \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2}, i_{2} = i_{1} \left (1 - \frac{1}{k} \right )^{2} = i_{0} \left ( 1- \frac{1}{k} \right )^{4}, \cdots$
При каждом падении на зеркало 2 свет частично выходит вправо:
$I_{1} = \frac{i_{0} }{k}, I_{2} = \frac{i_{1} }{k}, I_{3} = \frac{i_{2} }{k}, \cdots$
Полная интенсивность прошедшего света
$I^{ \prime} = I_{1} + I_{2} + I_{3} + \cdots = \frac{1}{k} (i_{0} + i_{1} + i_{2} + \cdots ) = \frac{i_{0} }{k} \left (1 + \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2} + \left ( 1- \frac{1}{k} \right )^{4} + \cdots \right )$
представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q = \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )^{2}$, поэтому
$I^{ \prime} = \frac{i_{0} }{k} \frac{1}{1 - q} = \frac{i_{0} }{k} \frac{k^{2} }{k^{2} - (k - 1)^{2} } = \frac{i_{0}k }{2k - 1} = \frac{I}{2k - 1} = \frac{I}{9}$.
При $k = 5$ точное решение всего на 10% отличается от приближенного.
