ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-08   
За линзой на расстоянии $L = 4 см$ (больше фокусного) расположено перпендикулярно главной оптической оси плоское зеркало. Перед линзой, также перпендикулярно главной оптической оси, расположен лист клетчатой бумаги (рис.). На этом листе получают изображения его клеток при двух положениях листа относительно линзы. Эти положения отличаются на $l = 9 см$. Определите фокусное расстояние линзы.



Решение:


Одно из положений листа, когда его клетки - будем называть их предметом - отображаются оптической системой на нем же, довольно очевидное. Действительно, если первое изображение, создаваемое линзой, окажется точно в плоскости зеркала, то при вторичном прохождении лучей через линзу (после отражения от зеркала) они соберутся точно в плоскости листа. Таким образом, в этом случае расстояние от линзы до создаваемого ею изображения предмета равно

$f_{1} = L$. (1)

Второе положение листа найти тоже не так сложно. Нетрудно убедиться, что если лист находится в фокальной плоскости линзы, то условия задачи выполняются. Действительно, лучи, идущие от каждой точки фокальной плоскости, после прохождения линзы преобразуются в параллельный пучок. Отразившись от зеркала, эти лучи останутся параллельными и, пройдя линзу, соберутся в ее фокальной плоскости. Таким образом, второе положение листа определяется условием

$d_{2} = F$. (2)

Соотношения (1) и (2) можно получить и более строго. По условию задачи лучи света от бумаги проходят через линзу, отражаются от зеркала, снова проходят через линзу и попадают на ту же бумагу. Такая система эквивалентна оптической системе, изображенной на рисунке, где обе линзы одинаковые.


Изображение, создаваемое первой линзой, может находиться или между линзами, или правее линзы $Л_{2}$. В первом случае это изображение является действительным предметом для второй линзы. И мы можем написать уравнения:

$\frac{1}{d^{ \prime} } + \frac{1}{f^{ \prime} } = \frac{1}{F}, \frac{1}{d^{ \prime \prime} } + \frac{1}{f^{ \prime \prime}} = \frac{1}{2L - f^{ \prime} } + \frac{1}{d^{ \prime} } = \frac{1}{F}$,

откуда следует

$\frac{1}{d^{ \prime}} + \frac{1}{f^{ \prime} } = \frac{1}{2L - f^{ \prime} } + \frac{1}{d^{ \prime} }$, и $f^{ \prime} = L$.

Во втором случае изображение, создаваемое первой линзой, является мнимым предметом для второй линзы, и уравнения приобретают несколько иной вид:

$\frac{1}{d^{ \prime} } + \frac{1}{f^{ \prime} } = \frac{1}{F}$,
$- \frac{1}{d^{ \prime \prime} } + \frac{1}{f^{ \prime \prime} } = \frac{1}{f^{ \prime} - 2L } + \frac{1}{d^{ \prime} } = \frac{1}{F}$.

Отсюда получаем

$- \frac{1}{f^{ \prime} - 2L } = \frac{1}{f^{ \prime} }$,

что возможно только в случае

$f^{ \prime} \rightarrow \infty$, или $d^{ \prime} = F$.

Итак, для двух рассмотренных случаев мы можем написать:

1) $\frac{1}{d_{1} } + \frac{1}{f_{1} } = \frac{1}{d_{1} } + \frac{1}{L} = \frac{1}{F}$, откуда $d_{1} = \frac{LF}{L - F}$,
2) $d_{2} = F$.

По условию задачи

$d_{1} - d_{2} = l$, т. е. $l = \frac{LF}{L - F} - F$,

и мы получаем квадратное уравнение

$F^{2} + lF - lL = 0$.

Его решение (линза по условию положительная) -

$F = 3 см$.