Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12535
2020-01-08 
К идеальному одноатомному газy, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти теплоемкость газа (в расчете на 1 моль) в этом процессе, если давлением снаружи пузыря можно пренебречь.
Решение:
Теплоемкостью $C$ физической системы называется отношение количества теплоты $\Delta Q$, которое необходимо подвести к ней для увеличения температуры на $\Delta T$, к этому изменению температуры:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T}$.
Теплоемкость может быть функцией процесса передачи тепла, т. е. зависеть от объема $V$ системы или от ее температуры $T$. Поэтому под $\Delta Q$ и $\Delta T$ будем понимать достаточно малые (математически - бесконечно малые) значения количества теплоты и изменения температуры.
Для моля идеального газа, запертого под пленкой в пузыре, подведенное количество теплоты $\Delta Q$ идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и совершение им работы $\Delta A$ против сил поверхностного натяжения:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2} R \Delta T + p \Delta V$.
Здесь $R$ - универсальная постоянная, $p$ - давление газа, равное давлению, создаваемому под пленкой силами поверхностного натяжения, $\Delta V$ - изменение объема пузыря при нагреве находящегося в нем газа.
Давление $p$ определяется коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$ и радиусом пузыря $r$:
$p = \frac{4 \sigma}{r}$.
Эту формулу можно получить следующим образом. Разобьем мысленно пузырь на две равные половины и рассмотрим условие механического равновесия. Силы давления газа, разрывающие шар на его половины, есть $p \cdot \pi r^{2}$. Силы поверхностного натяжения, удерживающие их вместе, есть $2 \sigma \cdot 2 \pi r$. Приравняв эти силы, получим приведенную формулу для давления.
Теперь свяжем работу газа $p \Delta V$ с изменением его температуры $\Delta T$. Поскольку объем пузыря и давление в нем зависят от радиуса, то необходимо найти связь между изменением радиуса пузыря $\Delta r$ и изменением температуры $\Delta T$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = RT$ имеем
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$.
Изменения объема $\Delta V$ и давления $\Delta p$ связаны с изменением радиуса $\Delta r$ следующими формулами:
$\Delta V = 4 \pi r^{2} \Delta r, \Delta p = - \frac{4 \sigma }{r^{2} } \Delta r$.
Поэтому уравнение состояния дает
$\frac{2}{3} \cdot 16 \pi \sigma r \Delta r = R \Delta T$.
Таким образом, работа газа
$\Delta A = p \Delta V = R \Delta T - V \Delta p = R \Delta T + \frac{R \Delta T}{2} = \frac{3}{2} R \Delta T$.
Окончательно получаем
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U + \Delta A}{ \Delta T} = \frac{3}{2}R + \frac{3}{2}R = 3R$.
Как видно из расчета, половина подведенного количества теплоты идет на увеличение температуры газа, а вторая половина превращается в поверхностную энергию пленки.
К идеальному одноатомному газy, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти теплоемкость газа (в расчете на 1 моль) в этом процессе, если давлением снаружи пузыря можно пренебречь.
Решение:
Теплоемкостью $C$ физической системы называется отношение количества теплоты $\Delta Q$, которое необходимо подвести к ней для увеличения температуры на $\Delta T$, к этому изменению температуры:
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T}$.
Теплоемкость может быть функцией процесса передачи тепла, т. е. зависеть от объема $V$ системы или от ее температуры $T$. Поэтому под $\Delta Q$ и $\Delta T$ будем понимать достаточно малые (математически - бесконечно малые) значения количества теплоты и изменения температуры.
Для моля идеального газа, запертого под пленкой в пузыре, подведенное количество теплоты $\Delta Q$ идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и совершение им работы $\Delta A$ против сил поверхностного натяжения:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2} R \Delta T + p \Delta V$.
Здесь $R$ - универсальная постоянная, $p$ - давление газа, равное давлению, создаваемому под пленкой силами поверхностного натяжения, $\Delta V$ - изменение объема пузыря при нагреве находящегося в нем газа.
Давление $p$ определяется коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$ и радиусом пузыря $r$:
$p = \frac{4 \sigma}{r}$.
Эту формулу можно получить следующим образом. Разобьем мысленно пузырь на две равные половины и рассмотрим условие механического равновесия. Силы давления газа, разрывающие шар на его половины, есть $p \cdot \pi r^{2}$. Силы поверхностного натяжения, удерживающие их вместе, есть $2 \sigma \cdot 2 \pi r$. Приравняв эти силы, получим приведенную формулу для давления.
Теперь свяжем работу газа $p \Delta V$ с изменением его температуры $\Delta T$. Поскольку объем пузыря и давление в нем зависят от радиуса, то необходимо найти связь между изменением радиуса пузыря $\Delta r$ и изменением температуры $\Delta T$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = RT$ имеем
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$.
Изменения объема $\Delta V$ и давления $\Delta p$ связаны с изменением радиуса $\Delta r$ следующими формулами:
$\Delta V = 4 \pi r^{2} \Delta r, \Delta p = - \frac{4 \sigma }{r^{2} } \Delta r$.
Поэтому уравнение состояния дает
$\frac{2}{3} \cdot 16 \pi \sigma r \Delta r = R \Delta T$.
Таким образом, работа газа
$\Delta A = p \Delta V = R \Delta T - V \Delta p = R \Delta T + \frac{R \Delta T}{2} = \frac{3}{2} R \Delta T$.
Окончательно получаем
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U + \Delta A}{ \Delta T} = \frac{3}{2}R + \frac{3}{2}R = 3R$.
Как видно из расчета, половина подведенного количества теплоты идет на увеличение температуры газа, а вторая половина превращается в поверхностную энергию пленки.
