ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-08   
Найдите сопротивление между точками А и В в бесконечной последовательности элементов, изображенной на рисунке. Все элементы одинаковы, сопротивление каждого элемента равно $r$.



Решение:


Приведем два решения этой задачи.

1) Из соображений симметрии очевидно, что в данной схеме (см. рис.) есть точки, потенциалы которых одинаковы Так, например,

$\phi_{C} = \phi_{E}, \phi{G} = \phi_{H} = \phi_{l} = \phi_{J}$

и т.д.


Заменим схему эквивалентной, изображенной на рисунке. Сопротивление между точками А и С равно $r/2$, между точками С и G - $r/4$ и т. д. Тогда сопротивление между точками А и В есть

$R_{AB} = 2 \left( \frac{r}{2} + \frac{r}{4} + \frac{r}{8} + \cdots \right ) = r \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \right ) = r \frac{1}{1 - \frac{1}{2} } = 2r$.


2) Поскольку последовательность элементов бесконечна, можно считать, что сопротивление между точками А и В равно сопротивлению между точками С и D. Тогда эквивалентную схему можно представить в виде, изображенном на рисунке, откуда непосредственно получаем

$R_{AB} = \frac{1}{2} (2r + R_{AB})$,

или

$R_{AB} = 2r$.