Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12532
2020-01-08 
Один конец нерастяжимой невесомой нити, продетой через маленькую бусинку массой $m$, закреплен в точке А, а другой привязан к невесомому кольцу, которое может свободно скользить вдоль горизонтального стержня (рис.). В начальный момент бусинку удерживают у кольца, нить прямолинейна и не натянута. Бусинку отпускают. Найти скорость бусинки в момент разрыва нити, если известно, что нить выдерживает максимальное натяжение $T_{0}$. Длина нити $L$, расстояние от точки А до стержня равно $h$. Трением в системе пренебречь.
Решение:
Для определения траектории движения бусинки введем систему координат так, как показано на рисунке (ось X направлена вдоль стержня вправо, а ось Y направлена вертикально вниз и проходит через точку за крепления нити А). Пусть бусинка находится в точке $N$. Так как кольцо невесомо и скользит по стержню свободно, верхний участок нити BN вертикален. Тогда
$BN = y$ и $PN = x$.
Из треугольника APN имеем
$AP^{2} + PN^{2} = AN^{2}$.
или
$(h - y)^{2} + x^{2} = (L - y)^{2}$.
Отсюда получаем
$y = \frac{L + h}{2} - \frac{x^{2} }{2(L - h)}$,
т.е. бусинка движется по параболе.
В точке $N$ траектории на бусинку со стороны нити действуют силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ причем их сумма $\vec{F}$ направлена перпендикулярно касательной к параболе в данной точке, (Действительно, только одни силы натяжения нити не могут вызвать движения бусинки.) Теперь, так как нить идеальна и трение бусинки о нить отсутствует, $T_{1} = T_{2} = T$, и, следовательно, сила $\vec{F}$ направлена по биссектрисе угла между векторами $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$.
Запишем для бусинки второй закон Ньютона в проекциях на направление, перпендикулярное касательной к траектории:
$ma_{n} = 2T \cos \alpha - mg \cos \alpha$. (1)
С другой стороны, нормальное (центростремительное) ускорение равно
$a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$, (2)
где $v = \sqrt{2gy}$ - скорость бусинки и $R$ - радиус кривизны параболы в точке $N$. Для решения задачи нам остается найти $R$.
Сравним движение бусинки с движением тела, брошенного под углом к горизонту. При этом параметры этого движения выберем такими, чтобы траекторией тела была парабола, симметричная траектории бусинки (см. рис.). Тогда
$u_{x} = \frac{OK}{t}$ и $t = \sqrt{ \frac{2H}{g} }$,
где $OK = \sqrt{L^{2} - h^{2} }$ и $H = \frac{L+h}{2}$.
Нормальное ускорение тела в точке $N^{ \prime}$
$a_{n}^{ \prime} = g \cos \alpha = \frac{u^{2} }{R}$.
Учитывая, что $u^{2} = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$, где $u_{y}^{2} = 2g(H - y)$, получаем
$R = \frac{u^{2} }{a_{n}^{ \prime} } = \frac{2(L - y)}{ \cos \alpha}$. (3)
Объединим уравнения (1) - (3) в систему и найдем натяжение нити, по которой скользит бусинка:
$T = \frac{mgL}{2(L - y)}$.
Нить разорвется, если $T = T_{0}$, т. е. когда
$y = L \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right )$
и
$v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2gL \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) }$.
Заметим, что
$0 \leq y \leq \frac{L + h}{2}$,
т. е. $0 \leq L \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) \leq \frac{L + h}{2}$.
Таким образом, если выполняется условие
$2 \geq \frac{mg}{T_{0} } \geq 1 - \frac{h}{L}$,
то в момент разрыва нити скорость бусинки
$v = \sqrt{2gL \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) }$;
если $\frac{mg}{T_{0}} > 2$, то нить разорвется в начальный момент; если же $\frac{mg}{T_{0}} < 1 - \frac{h}{L}$, то в процессе движения бусинки нить не разорвется никогда.
Один конец нерастяжимой невесомой нити, продетой через маленькую бусинку массой $m$, закреплен в точке А, а другой привязан к невесомому кольцу, которое может свободно скользить вдоль горизонтального стержня (рис.). В начальный момент бусинку удерживают у кольца, нить прямолинейна и не натянута. Бусинку отпускают. Найти скорость бусинки в момент разрыва нити, если известно, что нить выдерживает максимальное натяжение $T_{0}$. Длина нити $L$, расстояние от точки А до стержня равно $h$. Трением в системе пренебречь.
Решение:
Для определения траектории движения бусинки введем систему координат так, как показано на рисунке (ось X направлена вдоль стержня вправо, а ось Y направлена вертикально вниз и проходит через точку за крепления нити А). Пусть бусинка находится в точке $N$. Так как кольцо невесомо и скользит по стержню свободно, верхний участок нити BN вертикален. Тогда
$BN = y$ и $PN = x$.
Из треугольника APN имеем
$AP^{2} + PN^{2} = AN^{2}$.
или
$(h - y)^{2} + x^{2} = (L - y)^{2}$.
Отсюда получаем
$y = \frac{L + h}{2} - \frac{x^{2} }{2(L - h)}$,
т.е. бусинка движется по параболе.
В точке $N$ траектории на бусинку со стороны нити действуют силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ причем их сумма $\vec{F}$ направлена перпендикулярно касательной к параболе в данной точке, (Действительно, только одни силы натяжения нити не могут вызвать движения бусинки.) Теперь, так как нить идеальна и трение бусинки о нить отсутствует, $T_{1} = T_{2} = T$, и, следовательно, сила $\vec{F}$ направлена по биссектрисе угла между векторами $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$.
Запишем для бусинки второй закон Ньютона в проекциях на направление, перпендикулярное касательной к траектории:
$ma_{n} = 2T \cos \alpha - mg \cos \alpha$. (1)
С другой стороны, нормальное (центростремительное) ускорение равно
$a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$, (2)
где $v = \sqrt{2gy}$ - скорость бусинки и $R$ - радиус кривизны параболы в точке $N$. Для решения задачи нам остается найти $R$.
Сравним движение бусинки с движением тела, брошенного под углом к горизонту. При этом параметры этого движения выберем такими, чтобы траекторией тела была парабола, симметричная траектории бусинки (см. рис.). Тогда
$u_{x} = \frac{OK}{t}$ и $t = \sqrt{ \frac{2H}{g} }$,
где $OK = \sqrt{L^{2} - h^{2} }$ и $H = \frac{L+h}{2}$.
Нормальное ускорение тела в точке $N^{ \prime}$
$a_{n}^{ \prime} = g \cos \alpha = \frac{u^{2} }{R}$.
Учитывая, что $u^{2} = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$, где $u_{y}^{2} = 2g(H - y)$, получаем
$R = \frac{u^{2} }{a_{n}^{ \prime} } = \frac{2(L - y)}{ \cos \alpha}$. (3)
Объединим уравнения (1) - (3) в систему и найдем натяжение нити, по которой скользит бусинка:
$T = \frac{mgL}{2(L - y)}$.
Нить разорвется, если $T = T_{0}$, т. е. когда
$y = L \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right )$
и
$v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2gL \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) }$.
Заметим, что
$0 \leq y \leq \frac{L + h}{2}$,
т. е. $0 \leq L \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) \leq \frac{L + h}{2}$.
Таким образом, если выполняется условие
$2 \geq \frac{mg}{T_{0} } \geq 1 - \frac{h}{L}$,
то в момент разрыва нити скорость бусинки
$v = \sqrt{2gL \left ( 1 - \frac{mg}{2T_{0} } \right ) }$;
если $\frac{mg}{T_{0}} > 2$, то нить разорвется в начальный момент; если же $\frac{mg}{T_{0}} < 1 - \frac{h}{L}$, то в процессе движения бусинки нить не разорвется никогда.
